Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

${displaystyle x,y''+(1-x),y'+n,y=0,}$

Desarrollando ${displaystyle y}$ en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

${displaystyle a_{k+1}={frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k}, k=0,1,2,...; y(x)=sum _{k=0}^{infty }a_{k}x^{k},}$

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general ${displaystyle y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0}$.

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

Que tras desarrollar queda de la forma:

algunos de estos polinomios son:

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

Que sabiendo que ${displaystyle scriptstyle sum _{m=0}^{infty }{m+k choose k}t^{m}=left({frac {1}{1-t}} ight)^{k+1} forall |t|<1}$, y después de reagrupar queda de la forma:

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

Siendo ${displaystyle delta _{nm}}$ la delta de Kronecker. No obstante podemos definir las funciones:

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que ${displaystyle scriptstyle L_{n}^{0}(x)=L_{n}(x)}$.

Derivando, según la definición se obtiene:

La función generatriz viene dada por:

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso ${displaystyle scriptstyle x^{m}e^{-x}}$. Se cumple que:

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

Donde ${displaystyle scriptstyle Gamma (k)}$ es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

${displaystyle varphi _{nm}(x)={sqrt {frac {n!}{Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)}$

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso ${displaystyle scriptstyle x^{2}}$ (debido a la forma que toma la integral de volumen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

${displaystyle R_{nl}( ho )=Ne^{- ho /2} ho ^{l}L_{n+l}^{2l+1}( ho )}$

En general las funciones construidas de la forma:

${displaystyle varphi _{nm u }(x)=e^{-x/2}x^{ u }L_{n}^{m}(x)}$

Son ortogonales respecto de la función peso ${displaystyle scriptstyle x^{m-2 u }}$ y son solución de la ecuación:

${displaystyle xvarphi _{nm u }''(x)+(m+1-2 u )varphi _{nm u }'(x)+left[n+{frac {m+1}{2}}-{frac {x}{4}}+{frac { u ( u -m)}{x}} ight]varphi _{nm u }=0}$

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

${displaystyle L_{n}^{-1/2}(x)={frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({sqrt {x}})}$

${displaystyle L_{n}^{1/2}(x)={frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{frac {H_{2n+1}({sqrt {x}})}{sqrt {x}}}}$

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