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Función gamma



En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo es positiva, entonces la integral

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de . La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

La notación se debe a Legendre. Si la parte real del número complejo es estrictamente positiva , entonces la integral

converge absolutamente y es conocida como integral de Euler de segundo orden. Utilizando integración por partes se obtiene la siguiente propiedad:

Podemos obtener :

Teniendo que y entonces

para los enteros positivos .

La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en y residuos .[1]​ Estas propiedades pueden ser usadas para extender desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Para un entero está el caso

si no es un entero entonces no es posible decir si la ecuación anterior es válida pues aún no (en esta sección) se ha definido la función factorial para no enteros. Sin embargo, podemos obtener una extensión de la función factorial para no enteros insistiendo en que esta ecuación sigue siendo válida cuando un entero arbitrario es reemplazado por un número complejo arbitrario

multiplicando ambos lados por tenemos

Este producto infinito converge para todos los números complejos excepto para enteros negativos que falla pues utilizando la relación de recursión hacia atrás hasta el valor involucra una división entre cero.

Similarmente para la función gamma, la definición como un productos infinitos debida a Euler es válida para todos los números complejos excepto para valores enteros no positivos:

La definición de la función gamma debida Weierstrass es válida para todos los números complejos excepto para valores enteros no positivos

donde es la constante de Euler-Mascheroni.

Una representación de la función gamma incompleta en términos de los polinomios generalizados de Laguerre es

que converge para y .

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler

que implica

y la fórmula de duplicación de Legendre

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica pero muy útil de la función Gamma, que puede obtenerse a partir de la definición en términos de un límite es

en particular, con , este producto es

si la parte real es un entero, esto es entonces

siendo .

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no entero es:

La cual puede obtenerse haciendo en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con o haciendo la sustitución en la definición integral de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores no negativos de se tiene:

donde denota al doble factorial de .

Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma, por ejemplo:

Para un entero positivo , la derivada de la función gamma puede calcularse como sigue

donde denota la constante de Euler-Mascheroni.

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que la -ésima derivada de la función gamma viene dada por:

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en para todo número entero no negativo. El residuo en cada polo es:

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, solo la función Gamma es logarítmicamente convexa, esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una función convexa.

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, para representa la función gamma como una integral. Cuando la parte real de es positiva entonces

Cuando la parte real de es positiva entonces la primera fórmula integral de Binet para la función gamma es

la integral de la derecha puede ser interpretada como la Transformada de Laplace, esto es

Cuando la parte real de es positiva entonces la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma es

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión en series de Fourier para :

que por un largo tiempo se le atribuyó a Ernst Kummer quien la demostró en 1847, sin embargo, se descubrió que Carl Johan Malmsten la demostró por primera vez en 1842.

En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que

para valores .

En particular, cuando obtenemos

Gauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, que en términos de la función Gamma es:

Así, la relación de la función Pi con el factorial es más natural que en el caso de la función Gamma pues para cualquier entero no negativo

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

Donde es la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma:

En ocasiones se encuentra la siguiente definición

donde es una función entera definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es que la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Fórmula válida sólo si . También aparece en la ecuación funcional de :

Algunos valores particulares de la función gamma son

La función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, la aproximación de Lanczos o la aproximación de Spouge.

Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función Gamma).

Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.

La -ésima derivada de (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

como entonces

donde puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de , de e inclusive de una constante :


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