Problema matemático

Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema. Formalmente todo problema puede reducirse a una terna ${displaystyle (S,C(),r),}$ donde ${displaystyle S,}$ es un conjunto de objetos, ${displaystyle C(s),}$ es una condición (o condiciones) tal que dado ${displaystyle sin S}$ puede o no ser satisfecho (para ello la condición debe ser una fórmula lógica bien formada y cerrada). La resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único ${displaystyle rin S}$ que satisface ${displaystyle C(r),}$.

Algunos problemas clásicos como el de la cuadratura del círculo u otros donde se trata de decidir si una afirmación P es o no cierta, pueden reducirse a la forma de terna si tomamos como ${displaystyle S,}$ el conjunto de demostraciones posibles y ${displaystyle C(X),}$ como la condición de "X es una demostración válida de que la afirmación del problema P es cierta". Se dice que un problema no tiene solución cuando ${displaystyle forall rin S:lnot C(r)}$, es decir, ${displaystyle lnot exists rin S:C(r)}$.

Un ejemplo sencillo sería encontrar los números enteros que satisfacen la siguiente igualdad ${displaystyle r^{2}-2r+1=0,}$. Aquí el conjunto sobre el que se plantea el problema es conjunto de los números enteros ${displaystyle mathbb {Z} }$, la condición es que se cumpla la anterior igualdad, y ${displaystyle r,}$ es el único número que la satisface (puede verse que ${displaystyle r,}$= 1).

Más en general, la resolución de una ecuación algebraica es un problema matemático planteado sobre un conjunto ${displaystyle mathbb {K} }$ que tiene estructura de cuerpo o anillo algebraico consistente en buscar elementos ${displaystyle rin mathbb {K} }$ que cumplan la siguiente igualdad:

Si sólo existe un elemento que cumpla la anterior igualdad, esto se puede reformular como un problema del tipo ${displaystyle (mathbb {K} ,C(r)=0,r),}$, aunque normalmente el problema anterior admite más de una solución por lo que el problema matemático propiamente dicho es encontrar un conjunto de soluciones ${displaystyle S,}$, y por tanto cuando la solución no es única debemos resolver un problema de tipo ${displaystyle ({mathcal {P}}(mathbb {K} ),left[forall xin S:C(x)=0 ight],S),}$, donde ${displaystyle {mathcal {P}}(mathbb {K} ),}$ es el conjunto de las partes de ${displaystyle mathbb {K} ,}$

Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para trazar con regla y compás un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla ciertas condiciones.

Un problema muy sencillo es el de fijados 3 puntos no alinealdos en el plano euclídeo, encontrar una circunferencia que pase por todos ellos.

El problema matemático asociado podría ser denotado como ${displaystyle ({mathcal {C}},left{A,B,C ight}subset C,C_{1}),}$, donde ${displaystyle {mathcal {C}}}$ es el conjunto de todos los círculos posibles del plano euclídeo. El problema anterior se resuelve si se toma el segmento ${displaystyle {overline {AB}}}$ y se encuentra su recta mediatriz M₁ y se toma el segmento ${displaystyle {overline {BC}}}$ y se encuentra su recta mediatriz M₂

el centro O de la circunferencia buscada ${displaystyle C_{1},}$ coincide con la intersección de las mediatrices

el radio de la circunferencia buscada con la longitud de los segementos que unen el centro con cualquiera de los puntos:

Al conocer el centro de la circunferencia y su radio, queda totalmente determinada la solución al problema geométrico planteado. Otro ejemplo es el problema de Apolonio.

Un tipo muy frecuente de problema matemático de cálculo elemental son los problemas de maximización o minimización. Por ejemplo:

Para fabricar un recipientes cilíndricos metálicos de chapa, encontrar la relación entre la altura: h y el radio: r necesaria para que pueda contener un volumen V prefijado (por ejemplo V = 400 ml) usando la menor cantidad de chapa posible.

Este es claramente un problema de minimización puesto que pretendemos usar la mínima cantidad de chapa. El problema matemático sería ${displaystyle (r_{cil,V=400ml},min_{r}S(r),r),}$ donde, ${displaystyle r_{cil,V=400ml},}$ es el conjunto teórico de todos los posibles recipientes cilíndricos metálicos de 400 ml de capacidad; ${displaystyle S(r),}$ es el área del recipiente en función del radio ${displaystyle r,}$ del mismo. La solución se presenta a continuación.

Llamemos S a la superficie total de chapa, que será directamente proporcional a la cantidad de chapa empleada en el recipiente, llamemos al radio del recipiente r y a su altura h. Entonces tenemos que su superficie: S y su volumen: V vienen dados por:

Si substituimos despejamos h de la primera ecuación y la substituimos en la segunda tenemos que la cantidad de chapa necesaria para construir un recipiente cilíndrico de volumen V y radio r viene dada por:

Para encontrar el mínimo podemos usar el cálculo elemental que nos dice que el valor de r para el cual la derivada de la anterior función se anula es el valor que minimiza la función:

Con lo que queda definido r para un V dado, si el volumen no se conoce:

Es decir, que de todos los recipientes cilíndricos de chapa de igual volumen el que menos chapa necesita para ser fabricado es uno en que la altura del mismo sea justo dos veces el radio.

Muchos problemas prácticos pueden resolverse mediante algoritmos. Incluso existen técnicas prácticas para buscar dichos algoritmos como la resolución de problemas de programación. Prácticamente siempre los problemas didácticos que contienen los libros de texto para estudiantes de ciencias, o los problemas prácticos de ingeniería son problemas que admiten solución algorítmica.

Sin embargo, para algunos otros problemas interesantes ha podido probarse que no existe un algoritmo que mediante un conjunto finito de pasos encuentre una solución (o alternativamente muestre que el conjunto de soluciones es vacío). Algunos ejemplos de problemas no algorítmicos son: