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Proceso aleatorio



En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para usar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.[1]​ Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.

Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad.

Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:

Un proceso estocástico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes:

Un proceso se dice «de tiempo continuo» si es un intervalo (usualmente este intervalo se toma como ) o de "tiempo discreto" si es un conjunto numerable (solamente puede asumir determinados valores, usualmente se toma ). Las variables aleatorias toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabilístico. Sea un espacio probabilístico. En una muestra aleatoria de tamaño se observa un suceso compuesto formado por sucesos elementales :

, de manera que .

El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un álgebra de Boole . A cada suceso le corresponde un valor de una variable aleatoria , de manera que es función de :

El dominio de esta función o sea el campo de variabilidad del suceso elemental, es el espacio muestral, y su recorrido, o sea el de la variable aleatoria, es el campo de los números reales. Se llama proceso aleatorio al valor en de un elemento , donde para todo es una variable aleatoria del valor en .

Si se observa el suceso en un momento de tiempo:

define así un proceso estocástico.[2]

Si es una filtración,[3]​ se llama proceso aleatorio adaptado, al valor en , de un elemento , donde es una variable aleatoria -medible del valor en . La función se llama la trayectoria asociada al suceso .



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