Proceso de Lévy

Un proceso de Lévy es un proceso estocástico estacionario de tiempo continuo ${displaystyle {X_{t}}_{tgeq 0}}$ en el que los incrementos en el valor del proceso no dependen de sus valores pasados. Este tipo de procesos fueron analizados por Paul Lévy en los años 1930 generalizando los trabajos de Norbert Wiener.

Intuitivamente, un proceso de Lévy representa el movimiento de un punto cuyos desplazamientos sucesivos son aleatorios e independientes, y estadísticamente tienen la misma distribución sobre diferentes intervalos de tiempo de la misma longitud. En esas condiciones un proceso de Lévy puede verse como un análogo en tiempo continuo del paseo aleatorio.

Los procesos de Wiener (usados para modelizar el movimiento browniano) y los procesos de Poisson son casos particulares de procesos de Lévy, teniendo el primero trayectorias continuas casi seguro, mientras que el segundo tiene una cantidad numerable de saltos.

Un proceso adaptado ${displaystyle X={X_{t}}_{tgeq 0}}$ con ${displaystyle X_{0}=0}$ casi seguro es un proceso de Lévy si:^[1]​

${displaystyle mu _{n}(t+s)=sum _{k=0}^{n}{n choose k}mu _{k}(t)mu _{n-k}(s).}$

La distribución de un proceso de Lévy se caracteriza por su función característica, que viene dada en detalle por la fórmula de Lévy-Khintchine: Si ${displaystyle X=(X_{t})_{tgeq 0}}$ es un proceso de Lévy, entonces su función característica ${displaystyle phi _{X}( heta )}$ viene dada por:

${displaystyle phi _{X}( heta ):=mathbb {E} {Big [}e^{i heta X_{1}}{Big ]}=exp {Bigg (}ai heta -{frac {1}{2}}sigma ^{2} heta ^{2}+int _{mathbb {R} ackslash {0}}{ig (}e^{i heta x}-1-i heta xmathbf {I} _{|x|<1}{ig )},Pi (dx){Bigg )}}$

donde ${displaystyle ain mathbb {R} }$, ${displaystyle sigma geq 0}$, ${displaystyle mathbf {I} }$ es la función indicatriz y ${displaystyle Pi }$ es una medida sigma-finita denominada medida de Lévy de ${displaystyle X}$ que satisface la propiedad:

${displaystyle int _{mathbb {R} ackslash {0}}1wedge x^{2}Pi (dx)<infty .}$

Un proceso de Lévy viene dado por tres elementos: un arrastre lineal, un movimiento browniano y una superposición de procesos de Poisson centrados e independientes con diferentes tamaños promedio de salto, ${displaystyle Pi (dx)}$ representa la tasa de llegadas o intensidad del proceso de Poisson con salto de tamaño ${displaystyle x}$. Estos tres componentes, y por tanto la representación de Lévy-Khintchine, queda totalmente determinada por la tripleta de Lévy-Khintchine ${displaystyle (a,sigma ^{2},Pi )}$. En particular, los únicos procesos de Lévy (no-determinista) continuos son precisamente los movimientos brownianos con arrastre.

Cualquier proceso de Lévy puede descomponerse en suma de una movimiento browniano, un arrastres lineal y un proceso puro de salto que iguala los saltos del proceso de Lévy original. Este último proceso puede considerarse como una superposición de proceosos de Poisson centrados, por lo que forman un proceso de Poisson compuesto. La existencia de esa descomposición es un resultado matemático conocido como descomposición de Lévy–Itō.

Dada un tripleta de Lévy-Khintchine ${displaystyle (a,sigma ^{2},Pi )}$ existen tres procesos de Lévy indpendientes, que están definidos en el mismo espacio de probabilidad, ${displaystyle X^{(1)}}$, ${displaystyle X^{(2)}}$, ${displaystyle X^{(3)}}$ tales que:

El proceso definido por ${displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$ es entonces un proceso de Lévy con tripleta ${displaystyle (a,sigma ^{2},Pi )}$.

El proceso ${displaystyle X^{(3)}}$ puede descomponerse aún más en dos procesos independientes: el primero una marigingala de salto puro de media cero y saltos de menos de ${displaystyle 1}$ en valor absoluto, y el segundo un proceso de Poisson compuesto que describe los saltos de longitud mayor que uno en valor absoluto.