Producto (teoría de categorías)

En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.

Sea ${displaystyle C}$ una categoría, ${displaystyle X_{1}}$ y ${displaystyle X_{2}}$ objetos de ${displaystyle C}$. Un objeto ${displaystyle X}$ es el producto de ${displaystyle X_{1}}$ y ${displaystyle X_{2}}$, denotado ${displaystyle X_{1} imes X_{2}}$ si y solo si satisface la siguiente propiedad universal

El único morfismo ${displaystyle f}$ recibe el nombre de morfismo producto de ${displaystyle f_{1}}$ y ${displaystyle f_{2}}$ y se denota por ${displaystyle langle f_{1},f_{2} angle }$.

Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto ${displaystyle I}$. Entonces obtenemos la definición de un producto.

Un objeto ${displaystyle X}$ es el producto de una familia ${displaystyle {X_{i}}_{iin I}}$ de objetos si y solo si existen morfismos ${displaystyle pi _{i}:X o X_{i}}$, tal que para cualquier otro objeto ${displaystyle Y}$ y una familia de morfismos ${displaystyle f_{i}:Y o X_{i}}$ indizados por ${displaystyle I}$ existe un único morfismo ${displaystyle f:Y o X}$ tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier ${displaystyle iin I}$

El producto se denota como ${displaystyle prod _{iin I}X_{i}}$; si ${displaystyle I={1,ldots ,n}}$, entonces se denota como ${displaystyle X_{1} imes cdots imes X_{n}}$ y el morfismo producto como ${displaystyle langle f_{1},ldots ,f_{n} angle }$.

De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:

También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor, entonces es un funtor desde ${displaystyle I}$ considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.

En la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos X_i el producto es definido como

con las proyecciones

Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones :${displaystyle f_{i}:Y o X_{i}}$ la flecha universal f se define como

El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ and ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {R} }}$, no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.

Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana

Supongamos que ${displaystyle C}$ es una categoría cartesiana y ${displaystyle 1}$ denota el objeto final de la categoría ${displaystyle C}$. Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×Z → X×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×Z → X×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo