Razón anarmónica

La razón anarmónica o razón doble es una poderosa herramienta en geometría, especialmente en geometría proyectiva. El nombre de razón anarmónica fue creado por Michel Chasles, pero la noción se remonta a Papo de Alejandría.

Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos de una línea recta (d), relacionados por una razón doble, o relación anarmónica entre (A, B) y (C, D), entonces se establece una relación entre sus medidas algebraicas tal que:

Es esencial tener en cuenta que no necesariamente se conoce el orden de los puntos y que, de acuerdo con las posibles permutaciones, la razón doble entre ellos podría tener 4! = 24 valores, aunque solo seis de ellos son distintos entre sí:^[1]​

Estas transformaciones forman un grupo isomorfo al grupo simétrico ${displaystyle {mathfrak {S}}_{3}}$. Esto se explica de la siguiente manera. Las permutaciones (distintas de la identidad) que dejan la razón doble invariable son

(reconocibles por su descomposición en producto de ciclos de soporte disjuntos). Forman un subgrupo normal de ${displaystyle {mathfrak {S}}_{4}}$, isomorfo a grupo de Klein, y en este caso un grupo cociente.

Esta relación numérica es independiente de la marca elegida a la derecha (d) y de la unidad de longitud elegida.

Es fácil ver que si se cambian al mismo tiempo A/B y C/D, no se modifica la relación anarmónica.

Esta relación permanece invariante para muchas transformaciones geométricas, como isometrías, semejanzas o transformaciones afines. La inversión polar también preserva la relación anarmónica de cuatro elementos de una estructura unidimensional.

Así mismo, permanece invariante para homografías, como la perspectiva cónica.

Si C es el centroide de (A, a) y (B, b) y si D es el de (A, a') y (B, b') entonces su relación anarmónica es  

Esto explica por qué una transformación que preserva los centros de gravedad también preserva las relaciones anarmónicas. [Nota: la notación (X, x) indica que el punto situado en la abcisa X, tiene un peso x]

Sean los puntos sobre una recta con las abcisas siguientes:

y sean los valores siguientes sus pesos:

COMPROBACIÓN:
Se calculan las abcisas de los puntos ${displaystyle C}$ y ${displaystyle D}$, baricentros de los puntos con los pesos dados:

Calculando la razón anarmónica de ${displaystyle (ACDB)}$, se tiene que:

Por otro lado, calculando la relación entre los pesos

comprobándose la igualdad ${displaystyle (p=r)}$ dada para el ejemplo dado.

Un resultado importante en la geometría proyectiva es que una proyección central conserva la relación anarmónica. Permite afirmar que en la figura adjunta que las relaciones anarmónicas de (A, B, C, D) y (A', B', C', D') son iguales sean cuales sean las líneas que llevan la serie de cuatro puntos (Una demostración es posible usando el teorema de Thalès varias veces).

Como esta relación es independiente de la posición de la recta secante respecto a las cuatro líneas rectas, esta relación depende únicamente de la posición relativa de las cuatro líneas rectas concurrentes. A continuación se define la razón anarmónica de las cuatro rectas:

De hecho, se demuestra que esta relación es igual a:

lo que explica que la razón doble es independiente del corte transversal seleccionado.

Cuando la razón anarmónica es igual a -1, se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica. El punto D se llama conjugado de C con respecto a A y B. Se puede probar que C también es el conjugado de D con respecto a estos mismos puntos.

Ejemplo 1: Secuencia armónica

Ejemplo 2: Media armónica

Ejemplo 3: Baricentro

(Para otros ejemplos, véase cuaterna armónica)

Además de su importancia en términos de la razón doble de rectas orientadas, la razón anarmónica también puede definirse para ángulos y áreas orientadas. Por ejemplo en el diagrama adjunto, el área de los distintos triángulos se puede expresar de dos maneras:

Por ejemplo, para OAB se tiene que

Por lo tanto, después de simplificar la expresión por OH² o OA×OB×OC×OD, se produce la igualdad de tres razones anarmónicas: de longitudes, de áreas y de los senos.

La propiedad de la razón doble del seno es una consecuencia de que los 6 puntos ABCDMP pertenecen a la misma circunferencia. Los ángulos ${displaystyle {widehat {mathrm {AMB} }}}$ y ${displaystyle {widehat {mathrm {APB} }}}$ siendo suplementarios, sus senos son iguales. La razón doble de las rectas M (ABCD) es igual a la de las rectas P (ABCD). Por lo tanto, se puede hablar de la razón doble de 4 puntos en una circunferencia. Se demuestra en la geometría proyectiva (sin recurrir a los senos) que esta propiedad es cierta para cualquier cónica (dada una cónica, si ABCDM son fijos y P pertenece a la cónica, entonces la razón doble P (ABCD) es constante para cualquier P).

El teorema de Ceva y el teorema de Menelao están conectados por una relación armónica.

Los dos teoremas implican dos relaciones:

lo que, después de su simplificación, lleva a:

que expresa que los puntos D y D' dividen el segmento [BC] de acuerdo con una cuaterna armónica.

Esta propiedad permite generalizar la construcción del conjugado de D con respecto a BC, teniendo un punto arbitrario A fuera de (BC) y un punto M arbitrario en (AD).

DEF: sean α, β, γ y δ cuatro números complejos distintos dos a dos. La razón doble o razón anarmónica entre ellos se define como: