Seno del topólogo

El seno del topólogo, en topología, es una curva contenida en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ utilizada frecuentemente para ilustrar determinadas propiedades de los espacios topológicos.^[1]​ Se utiliza especialmente a modo de ejemplo de espacio topológico que es conexo pero no conexo por caminos.

Una definición usual del seno del topólogo es la adherencia de la curva

denotada ${displaystyle {ar {A}}}$, y que se define a su vez como la unión de ${displaystyle A}$ con su frontera, el segmento

A medida que x se acerca a cero, 1/x crece cada vez más rápido (de hecho, tiende a infinito), por lo que la frecuencia de la curva sinusoidal también es cada vez mayor. En el límite, la frecuencia es infinita.

En ocasiones, se considera solamente ${displaystyle A}$, o la unión de ${displaystyle A}$ con el punto ${displaystyle (0,0)}$. También se puede considerar la función ${displaystyle f(x)={mbox{sen}}({ frac {1}{x}})}$ definida en un intervalo distinto de (0,1],^[2]​ aunque siempre en un intervalo abierto en 0. Incluso se puede hacer distinción entre la «curva cerrada» (${displaystyle {ar {A}}}$) y la «curva abierta» (${displaystyle A}$) del seno del topólogo.^[1]​

Como adherencia de un conjunto conexo, ${displaystyle {ar {A}}}$ es un conjunto conexo. Sin embargo, no es conexo por caminos, pues no existe un camino ${displaystyle f:[0,1] ightarrow {ar {A}}}$ que una los puntos ${displaystyle (1,{mbox{sen}}(1))}$ y ${displaystyle (0,0)}$. Para ver que es así, considérese la sucesión formada por los puntos, tomados de derecha a izquierda en la gráfica, cuya segunda componente es alternativamente +1 ó -1. Esta sucesión no converge.