Series de Ramanujan-Sato

En matemáticas, una serie de Ramanujan-Sato^[1]​^[2]​ generaliza las fórmulas pi de Ramanujan tales como

a la forma

mediante el uso de otras secuencias de enteros bien definidas ${displaystyle s(k)}$ obedeciendo una cierta relación de recurrencia, secuencias que pueden expresarse en términos de coeficientes binomiales ${displaystyle { binom {n}{k}}}$ y ${displaystyle A,B,C}$ empleando formas modulares de niveles superiores.

Ramanujan hizo el enigmático comentario de que había "teorías correspondientes", pero solo mucho después H. H. Chan y S. Cooper han encontrado un enfoque general que utilizaba el subgrupo de congruencia modular subyacente ${displaystyle Gamma _{0}(n)}$,^[3]​ mientras que G. Almkvist ha encontrado experimentalmente numerosos otros ejemplos también con un método general que utiliza operadores diferenciales.^[4]​

Los niveles 1-4A fueron dados por Ramanujan (1914),^[5]​ el nivel 5 por H. H. Chan y S. Cooper (2012),^[3]​ el 6A por Chan, Tanigawa, Yang y Zudilin,^[6]​ el 6B por Sato (2002}},^[7]​ el 6C por H. Chan, S. Chan y Z. Liu (2004),^[1]​ el 6D por H. Chan y H. Verrill (2009),^[8]​ el nivel 7 por S. Cooper (2012),^[9]​ parte del nivel 8 por Almkvist y Guillera (2012),^[2]​ parte del nivel 10 por Y. Yang, y el resto por H. H. Chan y S. Cooper.

La notación j_n(t) se deriva de Zagier^[10]​ y T_{n se} refiere a la serie relevante de McKay-Thompson.

Ramanujan dio ejemplos para los niveles del 1 al 4 en su artículo de 1917. Dado ${displaystyle q=e^{2pi i au }}$ como en el resto de este artículo, sea

con la función jota j(t), la serie de Eisenstein E₄ y la función eta de Dedekind ?(t). La primera expansión es la serie de McKay-Thompson de clase 1A (sucesión A007240 en OEIS) con a(0) = 744. Téngase en cuenta que, como notó por primera vez J. McKay, el coeficiente del término lineal de j(t) es casi igual a ${displaystyle 196883}$, que es el grado de la representación irreducible no trivial más pequeña del grupo monstruo. Fenómenos similares se observarán en los otros niveles. Sea

Entonces las dos funciones y secuencias modulares están relacionadas por

si la serie converge y el signo se elige apropiadamente, aunque cuadrar ambos lados elimina fácilmente la ambigüedad. Existen relaciones análogas para los niveles superiores.

Ejemplos:

y ${displaystyle U_{n}}$ es una unidad fundamental. El primero pertenece a una familia de fórmulas que fueron rigurosamente probadas por los hermanos Chudnovsky en 1989^[11]​ y luego se usaron para calcular 10.000 millones de dígitos de p en 2011.^[12]​ La segunda fórmula, y las de niveles superiores, fueron establecidas por H. H. Chan y S. Cooper en 2012.^[3]​

Usando la notación de Zagier^[10]​ para la función modular de nivel 2,

Téngase en cuenta que el coeficiente del término lineal de j_2A(t) es uno más que ${displaystyle 4371}$, que es el grado más pequeño > 1 de las representaciones irreducibles del grupo Baby Monster. Sea

Entonces

si la serie converge y el signo se elige adecuadamente.

Ejemplos:

La primera fórmula, encontrada por Ramanujan y mencionada al comienzo del artículo, pertenece a una familia probada por D. Bailey y los hermanos Borwein en un artículo de 1989.^[13]​

Sea

donde ${displaystyle 782}$ es el grado más pequeño > 1 de las representaciones irreducibles del grupo de Fischer Fi_23; y

Ejemplos:

Sean

donde el primero es la potencia 24 de la función modular de Weber ${displaystyle {mathfrak {f}}( au )}$ . Y además

Ejemplos:

y,

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y los números de Apéry (sucesión A005258 en OEIS)^[9]​

Ejemplos:

En 2002, Sato^[7]​ estableció los primeros resultados para el nivel > 4. Involucró los números de Apéry que se usaron por primera vez para establecer la irracionalidad de ${displaystyle zeta (3)}$. Primero, defínase

J. Conway y S. Norton demostraron que existen relaciones lineales entre la serie McKay-Thompson T_n,^[14]​ una de las cuales era

o usando los cocientes eta anteriores j_n,

Para la función modular j_6A, se puede asociar con tres secuencias diferentes (una situación similar ocurre para la función de nivel 10j_10A). Sea

Las tres secuencias involucran el producto de los coeficientes binomiales centrales. ${displaystyle c(k)={ binom {2k}{k}}}$ con: primero, los números de Franel ${displaystyle sum _{j=0}^{k}{ binom {k}{j}}^{3}}$ ; 2°, (sucesión A002893 en OEIS), y 3º, (-1)^k (sucesión A093388 en OEIS). Téngase en cuenta que la segunda secuencia, a₂(k) es también el número de polígonos de 2n pasos en una red cúbica. Sus complementos

También hay secuencias asociadas, a saber, los números de Apéry,

los números de Domb (sin signo) o el número de polígonos de 2n pasos en una retícula en diamante,

y los números de Almkvist-Zudilin,

donde ${displaystyle { frac {(3j)!}{j!^{3}}}={ binom {2j}{j}}{ binom {3j}{j}}}$.

Las funciones modulares pueden relacionarse como

si la serie converge y el signo se elige adecuadamente. También se puede observar que

lo que implica que

y de manera similar usando a₃ y a'₃.

Se puede usar un valor para j_6A de tres maneras. Por ejemplo, comenzando con

y observando que ${displaystyle 3 imes 17=51}$, entonces

tanto como

aunque las fórmulas que usan los complementos aparentemente todavía no tienen una prueba rigurosa. Para las otras funciones modulares

Sea

y

Ejemplo:

Aún no se ha encontrado ninguna fórmula pi usando j_7B.

Sean

La expansión de la primera es la serie de McKay-Thompson de la clase 4B (y es la raíz cuadrada de otra función). La cuarta también es la raíz cuadrada de otra función. Sea

donde el primero es el producto^[2]​ del coeficiente binomial central y una secuencia relacionada con una media aritmético-geométrica (sucesión A081085 en OEIS),

Ejemplos:

aunque todavía no se conoce la fórmula pi usando j_8A(t).

Sea

La expansión de la primera es la serie de McKay- Thompson de la clase 3C (relacionada con la raíz cúbica de la función j), mientras que la segunda es la de la clase 9A. Sea

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y (sucesión A006077 en OEIS) (aunque con diferentes signos).

Ejemplos:

Sea

Al igual que el nivel 6, también existen relaciones lineales, como

o usando los cocientes eta anteriores j_n,

Sea

sus complementos

y,

aunque aún no se conocen formas cerradas para las últimas tres secuencias.

Las funciones modulares se pueden relacionar como^[15]​

si la serie converge. De hecho, también se puede observar que

Dado que el exponente tiene una parte fraccional, el signo de la raíz cuadrada debe elegirse adecuadamente, aunque es un problema más sencillo cuando j_n es positivo.

Al igual que el nivel 6, la función de nivel 10 j_10A se puede utilizar de tres maneras. Empezando con

y observando que ${displaystyle 5 imes 19=95}$, entonces

tanto como

aunque los que usan los complementos aún no tienen una prueba rigurosa. Una fórmula conjeturada que usa una de las últimas tres secuencias, es

lo que implica que podría haber ejemplos para todas las secuencias de nivel 10.

Sea la serie de McKay-Thompson de la clase 11A

donde

y

Aún no se conoce una forma cerrada en términos de coeficientes binomiales para la secuencia, pero obedece a la relación de recurrencia

con condiciones iniciales s(0) = 1, s(1) = 4.

Ejemplo:^[16]​

Como señaló Cooper,^[16]​ hay secuencias análogas para ciertos niveles superiores.

R. Steiner encontró ejemplos usando los números de Catalan ${displaystyle C_{k}}$

para los que existe una forma modular con un segundo periódico para k ${displaystyle k={frac {1}{16}}((-20-12{oldsymbol {i}})+16n),k={frac {1}{16}}((-20+12{oldsymbol {i}})+16n)}$ Otras series similares son

con el último (comentarios en (sucesión A013709 en OEIS) encontrado mediante el uso de una combinación lineal de partes superiores de las series de Wallis-Lambert para 4/Pi y de Euler para el perímetro de una elipse.

Usando la definición de los números Catalan con la función gamma, el primero y el último, por ejemplo, dan las identidades

El último también es equivalente a

y está relacionado con el hecho de que

que es consecuencia de la aproximación de Stirling.

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