Stefan Banach (AFI: 'stefan 'banax) (30 de marzo de 1892 en Cracovia, Imperio austrohúngaro – 31 de agosto de 1945 en Leópolis, Polonia, actual Ucrania) fue un matemático polaco, uno de los más destacados de la Escuela de Matemática de Lwow (Lwowska Szkola Matematyki) en la Polonia previa a la guerra. Fue presidente de la Sociedad Matemática Polaca.
Realizó contribuciones a distintas áreas de la matemática, pero su mayor aporte se dio en el área del análisis funcional: introdujo el concepto de lo que hoy se conoce como espacio de Banach y probó varios teoremas importantes en ese campo (entre ellos, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema del punto fijo de Banach, la paradoja de Banach-Tarski y el teorema de Banach-Steinhaus).
Stefan Banach nació el 30 de marzo de 1892 en Cracovia (en ese momento, ciudad perteneciente al Imperio austrohúngaro). Su padre fue Stefan Greczek y, según su registro de nacimiento, su madre fue Katarzyna Banach. La madre no tuvo contacto con su hijo tras sus primeros cuatro años de vida. Ya de mayor, Stefan Banach intentó saber más acerca de ella, pero toda información le fue negada por parte de su padre.
Inicialmente, Stefan fue criado por su abuela, que vivía en Ostrowsko, un pueblo a 50 km de Cracovia. Cuando ella enfermó, pasó a ser educado por una mujer de Cracovia, de nombre Franciszka Plowa.
Realizó sus estudios de educación primaria y secundaria en Cracovia. En 1910 viajó a Lwow para estudiar en la Facultad de Ingeniería. Egresó de la carrera en 1914.
Poco después estalló la Primera Guerra Mundial. La ciudad de Lwow fue ocupada por las tropas rusas. Banach tenía mala visión en su ojo izquierdo, por lo que no era apto para enrolarse en el ejército. Durante la guerra trabajó en Cracovia como profesor y asistió como alumno a clases de matemática en la Universidad Jaguelónica.
En 1916, el matemático Hugo Steinhaus se encontraba en la ciudad de Cracovia, mientras esperaba poder tomar su cargo en la universidad de Lwow. Durante ese período se dedicaba a pasear por la ciudad. En uno de sus paseos se encontró con Banach y algunos de sus compañeros de estudio y comenzaron a reunirse frecuentemente. Steinhaus le comentó a Banach un problema sobre el que estaba pensando, juntos lo resolvieron y dio como resultado el primer artículo publicado por Banach (en coautoría con Steinhaus), que fue publicado en 1918. Poco después, Banach ya publicaba gran cantidad de artículos.
En 1920, se casó con Lucja Braus.
En 1920 le ofrecieron un puesto como ayudante de Antoni Łomicki en la Universidad Politécnica de Lwow, donde había estudiado, pese a no tener formalmente una gran formación en matemática. Se doctoró en 1922, con una tesis considerada como fundacional en el área del análisis funcional.
En los siguientes años realizó gran cantidad de actividades, incluyendo muchas publicaciones científicas y textos para estudiantes de secundaria. En 1929, fundó junto a Hugo Steinhaus la revista Studia Mathematica. Junto a Steinhaus, Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski, Mazurkiewicz, y Wacław Sierpiński fue editor de una nueva serie de “Monografías Matemáticas”, cuyo primer número Théorie des Opérations linéaires fue escrito por Banach.
La manera en que trabajaba Banach puede ser considerada como poco convencional. Solía reunirse con sus colegas matemáticos en cafés. Principalmente las reuniones se llevaban a cabo en el Café Escocés de la ciudad de Lwow. En ese lugar se juntaban a discutir problemas de matemática y a beber. Banach era reconocido como un gran bebedor.
Algunos de quienes se reunían en el café eran matemáticos ya reconocidos como Antoni Łomicki, Włodzimierz Stożek, Hugo Steinhaus, Stanisław Ruziewicz y el propio Banach; y jóvenes que empezaban su camino en la matemática, como Herman Auerbach, Feliks Barański, Mark Kac, Stanisław Ulam, Stefan Kaczmarz, Stanisław Mazur (quien fue estudiante de doctorado de Banach), Władyslaw Orlicz, Juliusz Schauder y Stanisław Saks. Muchos de los nombrados han sido muy importantes para el avance de la matemática del siglo XX. Varios de ellos murieron durante la ocupación nazi de Polonia.
Entre 1935 y 1941 muchos de los problemas surgidos en el bar comenzaron a ser escritos en un cuaderno, que posteriormente se volvió famoso, siendo conocido como el Cuaderno Escocés. Allí además se sugería un premio para quien pudiera resolver cada uno de los problemas. Steinhaus envió en 1956 una copia del cuaderno a Ulam, quien lo tradujo al inglés y lo llevó al Congreso Internacional de Matemáticos de 1958. Tuvo a partir de entonces gran repercusión en la comunidad matemática internacional.
Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Banach era el presidente de la Sociedad Matemática Polaca. Mantenía una buena relación con los matemáticos soviéticos, por lo que se le permitió permanecer en su cargo a pesar de la ocupación soviética, desde 1939, de la ciudad. Incluso fue nombrado Decano de la Facultad de Físicas y Matemáticas, Director del Departamento de Análisis Matemático y, posteriormente, Concejal del Ayuntamiento. Durante el período de la ocupación soviética viajó varias veces a la URSS y recibió la visita de matemáticos de allí, como Sergei Sobolev y Pavel Aleksandrov.
Cuando el ejército alemán inició la invasión de la Unión Soviética, Banach se encontraba en Kiev. Volvió rápidamente a Lwow para unirse con su familia, donde fue arrestado por la Gestapo y liberado unas semanas después.
Las universidades de la ciudad fueron cerradas por los nazis. Además, Banach no era bien visto por los alemanes debido a su afinidad con los soviéticos. Pese a ello, sobrevivió a la ocupación alemana, gracias en gran medida a Rudolf Weigl.
Weigl era un biólogo radicado en Lwow que se dedicaba a estudiar la enfermedad del tifus. Para ese estudio precisaba criar piojos. Estos piojos debían ser alimentados con sangre humana para saber como reaccionaba la enfermedad, para lo que se requerían personas que aportaran dicho alimento. Banach y algunos de sus colegas matemáticos fueron parte de esas personas.
Banach sobrevivió a este período de ocupación alemana, aunque llegó al final de la misma muy gravemente enfermo. Murió un año después de cáncer de pulmón, en agosto de 1945.
Banach es considerado usualmente como el fundador del análisis funcional moderno, creando una teoría que generalizaba algunas contribuciones anteriores realizadas por Erik Ivar Fredholm, David Hilbert y Vito Volterra.
Fue quien formuló el concepto ahora conocido como espacio de Banach y realizó contribuciones fundamentales en la teoría de los espacios vectoriales topológicos, incluyendo el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Banach-Steinhaus.
También realizó aportes en series de Fourier, teoría de la medida, integrales y teoría de conjuntos. Un resultado muy importante para las teorías de la medida y de conjuntos es el que se denomina como paradoja de Banach-Tarski (descubierto por Banach junto con Alfred Tarski), que muestra cómo una bola puede dividirse en una cantidad finita de conjuntos y luego unirse para armar dos bolas. La demostración utiliza el axioma de elección, por lo que colaboró en la discusión de la axiomatización de la teoría de conjuntos.
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