Sumatorio

El sumatorio^[1]​^[2]​ o sumatoria (también conocido como operación de suma, notación sigma o símbolo suma) es una notación matemática que permite representar sumas de varios sumandos, n o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de paso al límite.^[3]​ Se expresa con la letra griega sigma mayúscula (${displaystyle Sigma }$, Σ).

La notación se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ de la siguiente manera:

${displaystyle sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n}}$

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de a sub-i». La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Pudiendo ver además que si m = n entonces:

Si m es mayor que n, el resultado es cero, el elemento neutro de la suma:

Como el conjunto de índices es un intervalo de enteros, es corriente indicar el primer índice debajo del símbolo de sumatoria, y el último por encima del mismo. Las siguientes notaciones son equivalentes

El número de términos a sumar es entonces ${displaystyle n-m+1}$, ya que el primer sumando es ${displaystyle a_{m}}$ y el último sumando es ${displaystyle a_{n}}$.

La suma de los cuadrados de los seis primeros enteros estrictamente positivos se escribe por ejemplo

La conmutatividad y la asociatividad de la adición, hacen que el resultado de una serie (finita) de adiciones, no dependa del orden en el cual los términos son considerados. La suma de una familia finita de elementos ${displaystyle (a_{i})}$ indexada por un conjunto ${displaystyle I}$ (no necesariamente ordenado) se indica entonces ${displaystyle sum _{iin I}{a_{i}}}$.

Cuando la familia considerada es un conjunto finito ${displaystyle A}$, la correspondiente suma también puede escribirse

La suma vacía convencionalmente es considerada igual a cero, entre otras cosas a fin de satisfacer la igualdad

La notación de Einstein simplemente omite la escritura del símbolo de suma, ya que si un índice aparece sin definición, se sobreentiende que lo que se representa es la suma de los elementos al variar el índice.

Se debe notar que aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que se realizará, por ejemplo, el sumatorio de unos votos, es notoriamente un disparate.

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

Si ${displaystyle (a_{n})}$ es un elemento de una serie, la suma total de los elementos de esta, es el límite de las sumas parciales (si es que este límite existe) ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=lim _{N ightarrow +infty }sum _{n=0}^{N}a_{n}}$.

Hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

Las siguientes fórmulas son manipulaciones de

generalizadas para que la serie comience en cualquier número natural (i.e., ${displaystyle min mathbb {N} }$ ):

En los sumatorios siguientes a es una constante no igual a 1

En español suele llamarse erróneamente «sumatoria» (por calco a la palabra inglesa summatory); sin embargo, según el diccionario de la Real Academia Española, dicha palabra no existe en la lengua española; aunque en la vigésima tercera edición ha sido incorporada la expresión «sumatorio». Aun con ello, la tradición en la lengua española ha sido llamarle «suma» u «operación de suma».