Teoría de valores extremos

Teoría de valores extremos nació en AVE.

La teoría de valores extremos o análisis de valores extremos (AVE) es una rama de la estadística que trata de las desviaciones respecto a al valor esperado de una distribución de probabilidad.

El objetivo del análisis de valores extremos, es evaluar, dada una muestra de una variable aleatoria, la probabilidad de eventos o valores más extremos que los observados previamente. Por esa razón el análisis de valor extremo se usa ampliamente en muchas disciplinas, como la ingeniería estructural, el análisis del riesgo financiero, las ciencias geológicas, la ingeniería sísmica e hidrológica o la predicción del tráfico. Así por ejemplo el AVE se ha usado en hidrología para estimar la probabilidad de una riada o inundación inusual, que en inglés se denomina 100-year flood ("inundación del siglo" así llamada por considerarse de una probabilidad de ocurrencia de un 1% anual). Análogamente, en el diseño de rompeolas un ingeniero de costas debería estimar el oleaje máximo en un período de unos 50 años, para dimensionar adecuadamente la infraestructura.

Actualmente existen dos enfoques prácticos del análisis de valores extremos:

Para datos por el método SMA, el análisis puede descansar parcialmente en los resultados del teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko, lo cual conlleva usar distribuciones generalizadas de valor extremo para ajustar los datos.^[2]​^[3]​ Sin embargo, en la práctica, se aplican varios procedimientos para escoger entre un rango más amplio de distribuciones. El teorema en cuestión relaciona las distribuciones límites para los máximos o mínimos de una gran colección de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución. Dado que el número de eventos aleatorios relevantes producidos en un único año pueden ser limitados, no es sorprenderte que los análisis de datos agrupados por el método SMA frecuentemente conduzcan a distribuciones que se apartan de distribuciones de valor extremo generalizado.^[4]​

Para datos obtenidos por el método PSU, el análisis involucra ajustar dos distribuciones: una para el número de eventos en cada período básico de tiempo y un segundo ajuste para la distribución de los excesos. Una asunción común para el número de eventos consiste en usar la distribución de Poisson, mientras que para los excesos se emplea una distribución generalizada de Pareto. En este caso se necesita alguna teoría adicional para estimar la distribución de los valores extremos más allá de los observados. Un objetivo alternativo podría ser estimar los costes esperados asociados a eventos inusuales durante un cierto período. En los análisis PSU el resultado matemático fundamental es el teorema de Pickands-Balkema-De Haan.^[5]​^[6]​

Las aplicaciones de la teoría de valores extremos incluyen estimar la probabilidad de eventos como:

El análisis de valores extremos fue inaugurado por Leonard Tippett (1902–1985). Tippett era un empleado de la British Cotton Industry Research Association, donde trabajaba para desarrollar fibras de algodón más resistentes. En sus estudios, apreció que la resistencia de un hilo dependía críticamente de la resistencia de la fibra más débil. Con la ayuda de R. A. Fisher, obtuvo tres límites asintóticos que describían la distribución de valores extremos (se ilustran en un teorema conocido como de Fisher-Tippett-Gnedenko). Emil Julius Gumbel codificó esta teoría en su libro de 1950 titulado Statistics of Extremes, que incluía la distribución que ahora lleva su nombre (Distribución de Gumbel).

Sean ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con la misma función de distribución F y sea ${displaystyle M_{n}=max(X_{1},dots ,X_{n})}$ el máximo de los valores de una muestra de n valores.

En teoría, la distribución exacta de los máximos puede obtenerse directamente:

${displaystyle {egin{aligned}Pr(M_{n}leq z)&=Pr(X_{1}leq z,dots ,X_{n}leq z)\&=Pr(X_{1}leq z)cdots Pr(X_{n}leq z)=(F(z))^{n}.end{aligned}}}$

La función indicatriz asociada ${displaystyle I_{n}=I(M_{n}>z)}$ es un proceso de Bernoulli con una probabilidad de éxito ${displaystyle p(z)=(1-(F(z))^{n})}$ que depende de la magnitud ${displaystyle z}$ del evento extremo. El número de eventos extremos en ${displaystyle n}$ intentos por tanto sigue una distribución binomial y el número de ensayos hasta que ocurra un evento de ese tipo sigue una distribución geométrica con valor esperado y desviación estándar del mismo orden de magnitud ${displaystyle O(1/p(z))}$.