Teorema central del límite

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si ${displaystyle S_{n}}$ es la suma de ${displaystyle n}$ variables aleatorias independientes, con media conocida y varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de ${displaystyle S_{n}}$ «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.^[1]​^[2]​

El nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem^[3]​ [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos], por lo que la denominación más fiel a la original sería teorema central del límite.

Recordemos que si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${displaystyle Xsim N(mu ,sigma ^{2})}$ entonces su función de densidad está dada por

para ${displaystyle xin mathbb {R} }$ donde ${displaystyle mu }$ denota la media y ${displaystyle sigma ^{2}}$ la varianza de la variable aleatoria ${displaystyle X}$. En particular cuando ${displaystyle mu =0}$ y ${displaystyle sigma ^{2}=1}$ obtenemos

es decir, la distribución normal estándar, denotada por ${displaystyle Xsim N(0,1)}$.

Se define la variable aleatoria ${displaystyle S_{n}}$ como la suma de ${displaystyle n}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con una media ${displaystyle mu }$ y varianza ${displaystyle sigma ^{2}<infty }$, es decir

donde ${displaystyle operatorname {E} [X_{i}]=mu }$ y ${displaystyle operatorname {Var} [X_{i}]=sigma ^{2}}$. Con lo anterior, la media de ${displaystyle S_{n}}$ es ${displaystyle nmu }$ y la varianza es ${displaystyle nsigma ^{2}}$ pues son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de ${displaystyle S_{n}}$ como

para que la media de la nueva variable sea igual a ${displaystyle 0}$ y la desviación estándar sea igual a ${displaystyle 1}$. Así, la variable ${displaystyle Z_{n}}$ convergerán en distribución a la distribución normal estándar ${displaystyle N(0,1)}$ cuando ${displaystyle n}$ tienda a infinito. Como consecuencia, si ${displaystyle Phi (z)}$ es la función de distribución de ${displaystyle N(0,1)}$ para cada número real ${displaystyle z}$ entonces

donde ${displaystyle operatorname {P} }$ indica probabilidad y ${displaystyle lim }$ se refiere a límite matemático.

De manera formal y compacta el teorema enuncia^[4]​

Sean ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{n}}$ variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con ${displaystyle operatorname {E} [X_{i}]=mu }$ y ${displaystyle operatorname {Var} (X_{i})=sigma ^{2}<infty }$, se define

Entonces la función de distribución de ${displaystyle Z_{n}}$ converge hacia la función de distribución normal estándar cuando ${displaystyle n o infty }$, es decir,

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada ${displaystyle Z_{n}}$ en función de la media muestral ${displaystyle {overline {X}}}$, es decir

puesto que son equivalentes (sólo se divide tanto numerador como denominador entre ${displaystyle n}$).

Es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de la variable aleatoria ${displaystyle {X_{i}}}$, excepto la existencia de media y varianza.^[5]​

En el caso de ${displaystyle n}$ variables aleatorias ${displaystyle X_{i}}$ independientes e idénticamente distribuidas, cada una de ellas con varianza nula o infinita, la distribución de las variables

no convergen en distribución hacia una normal.

A continuación se presentan los dos casos por separado.

Considérese el caso de variables que siguen una distribución de Cauchy:

En este caso puede demostrarse que la distribución asintótica de ${displaystyle S_{n}}$ viene dada por otra distribución de Cauchy:

Para otras distribuciones de varianza infinita no es fácil dar una expresión cerrada para su distribución de probabilidad aunque su función característica sí tiene una forma sencilla, dada por el teorema de Lévy-Khintchine:^[6]​

donde ${displaystyle cgeq 0,-1geq gamma geq 1,0<alpha geq 2}$ y:

Las condiciones anteriores equivalen a que una distribución de probabilidad sea una distribución estable.

Este caso corresponde trivialmente a una función degenerada tipo delta de Dirac cuya función de distribución viene dada por:

En este caso resulta que la variable ${displaystyle S_{n}}$ trivialmente tiene la misma distribución que cada una de las variables independientes.