Teorema de Cauchy-Hadamard

En matemática, el Teorema de Cauchy-Hadamard, llamado así por los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard, estableciendo el radio de convergencia de una serie de potencias que aproxima una función en torno de un punto a.

Fue publicado por primera vez en 1821 por Augustin Louis Cauchy,^[1]​ pero pasó relativamente desapercibido hasta que Jacques Hadamard lo redescubrió.^[2]​ La primera publicación de Hadamard sobre este resultado fue realizada en 1888;^[3]​ También fue incluida como parte de su tesis doctoral de 1892.^[4]​

Considérese la serie de potencias formal de una variable compleja z de la forma

donde ${displaystyle a,c_{n}in mathbb {C} .}$

Entonces el radio de convergencia de ƒ en el punto a estará dado por

donde lim sup denota el límite superior, el límite cuando n tiende a infinito del supremo de una sucesión de valores después de la n-ésima posición. Si la secuencia de valores no está acotada, de manera que lim sup sea ∞, entonces la serie de potencias no convergerá cerca de a, mientras que si el lim sup es 0 entonces el radio de convergencia será ∞, lo cual significa que la serie de potencias converge en todo el plano complejo.

^[5]​Sin pérdida de generalidad asumiremos que ${displaystyle a=0}$. En primer lugar vamos a demostrar que la serie de potencias ${displaystyle sum c_{n}z^{n}}$ converge para ${displaystyle |z|<R}$, y después que esta diverge para ${displaystyle |z|>R}$.

Supongamos que ${displaystyle |z|<R}$. Sea ${displaystyle t=1/R}$ distinto de cero o infinito. Para todo ${displaystyle epsilon >0}$, existe sólo un número finito de ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle {sqrt[{n}]{|c_{n}|}}geq t+epsilon }$. Ahora, ${displaystyle |c_{n}|leq (t+epsilon )^{n}}$, así que la serie ${displaystyle sum c_{n}z^{n}}$ converge si ${displaystyle |z|<1/(t+epsilon )}$. Esto demuestra la primera parte.

Sea ahora ${displaystyle |z|>R}$. Tomando ${displaystyle |c_{n}|geq (t-epsilon )^{n}}$, vemos que la serie no puede converger dado que su n-ésimo término no tiende a 0.