Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$, con ${displaystyle a_{n},x,x_{0}in mathbb {R} }$, viene dado por la expresión:

${displaystyle {frac {1}{r}}=lim _{n o infty }{frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma ${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}$, con ${displaystyle a_{n},x,x_{0}in mathbb {R} }$, recibe el nombre de serie de potencias centrada en ${displaystyle x_{0}}$. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de ${displaystyle x}$ que verifica que ${displaystyle |x-x_{0}|<r}$, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de ${displaystyle x}$ pertenecientes al intervalo ${displaystyle (x_{0}-r,}$ ${displaystyle x_{0}+r)}$, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para ${displaystyle x_{0}}$, ${displaystyle r=0}$. Si lo hace para cualquier valor de ${displaystyle x}$, ${displaystyle r=}$ ${displaystyle infty ,!}$

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

La función ${displaystyle 1/(1-x)}$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias ${displaystyle x-x_{0}=x-0=x}$, tiene el siguiente aspecto:

${displaystyle {frac {1}{1-x}}=sum _{n=0}^{infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+ldots }$

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es ${displaystyle r=1}$. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al ${displaystyle x_{0}=0}$ es menor que ${displaystyle r=1}$, por ejemplo el ${displaystyle x=0.25}$, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+ldots ={frac {4}{3}}}$.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

${displaystyle {frac {1}{1-0.25}}={frac {1}{1-{frac {1}{4}}}}={frac {4}{3}}}$.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el ${displaystyle x=2}$, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+ldots =infty }$.

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función ${displaystyle 1/(1-x)}$ en su desarrollo con centro ${displaystyle x_{0}=3}$ tiene la forma:

${displaystyle {frac {1}{1-x}}=-{frac {1}{2}}+{frac {x-3}{4}}-{frac {(x-3)^{2}}{8}}+{frac {(x-3)^{3}}{16}}-ldots }$

Pero en este caso su radio de convergencia es ${displaystyle r=2}$. Notemos que la función ${displaystyle 1/(1-x)}$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: ${displaystyle |0-1|=1}$ y ${displaystyle |3-1|=2}$. Esto puede llevarnos a pensar que las funciones de variable real que no tengan singularidades tendrán radio de convergencia infinito, lo cual no es así. En el siguiente ejemplo:

${displaystyle f(x)={frac {1}{1+x^{2}}}}$

Podemos ver que no se anula el denominador para ningún punto y que por tanto: ${displaystyle Domf(x)=mathbb {R} }$. No obstante, la serie se puede expresar como: ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-(-x^{2})}}}$

y gracias al desarrollo como serie de potencias de ${displaystyle {frac {1}{1-x}}}$ queda: ${displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}...=sum _{k=0}^{infty }{(-1)^{k}x^{2k}}}$. Con el criterio del cociente podemos comprobar que el radio de convergencia es ${displaystyle r=1}$. Este resultado tiene que ver con que las raíces de ${displaystyle x^{2}+1}$ sí existen en el plano complejo y son ${displaystyle x=i}$ y en ${displaystyle x=-i}$, ambas a distancia 1 del origen, punto en el que desarrollamos la serie. Más información en ^[1]​

Por ejemplo, la función exponencial ${displaystyle e^{x}}$ puede desarrollarse en series de potencia de ${displaystyle x-0=x}$, de hecho ${displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+ldots }$

y esto vale para todo real ${displaystyle x}$ por eso el radio de convergencia será infinito.