Teorema de Radon Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'^N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.^[1]​

Dado un espacio medible ${displaystyle (X,Sigma )}$, una medida ${displaystyle sigma }$-finita ${displaystyle mu :Sigma o mathbb {R} }$ y una medida con signo ${displaystyle sigma }$-finita ${displaystyle u :Sigma o mathbb {R} }$ absolutamente continua con respecto a ${displaystyle mu }$, entonces existe una función medible ${displaystyle f}$ sobre ${displaystyle (X,Sigma )}$ que satisface:

Además, si ${displaystyle g}$ es otra función medible en ${displaystyle (X,Sigma )}$ tal que

entonces ${displaystyle f=g}$ ${displaystyle mu }$-casi siempre.

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función ${displaystyle f}$ que satisface

para todo ${displaystyle Ain Sigma }$ se la llama derivada de Radon-Nykodym de ${displaystyle u }$ con respecto a ${displaystyle mu }$ y suele representarse mediante ${displaystyle extstyle f={{d u } over {dmu }}}$. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.