Teorema de la deducción

El teorema de la deducción es un metateorema de la lógica proposicional, la lógica de primer orden y otros sistemas lógicos, que es bastante utilizado para demostrar otros metateoremas.^[1]​ Se trata de una formalización de la técnica de demostración ordinaria según la cual para demostrar que de A se sigue B, basta con suponer A y a partir de ello llegar a la conclusión de que B.

Más formalmente, el teorema establece que si una fórmula B es deducible (en un sistema deductivo S) a partir del conjunto de fórmulas ${displaystyle Gamma cup {A}}$, entonces A → B es deducible a partir de ${displaystyle Gamma }$ solamente.^[1]​ En símbolos:

O alternativamente, en la notación del cálculo de secuentes:

En el caso especial donde ${displaystyle Gamma }$ es el conjunto vacío, el teorema de la deducción dice que:^[1]​

El teorema de la deducción parece haber sido demostrado por primera vez por Alfred Tarski en 1921, pero la primera demostración publicada es de Jacques Herbrand en 1930.^[1]​

A partir del teorema de la deducción, es fácil demostrar que si A → B es deducible (en un sistema deductivo S) a partir de ${displaystyle Gamma }$, entonces B es deducible a partir de ${displaystyle Gamma cup {A}}$.^[1]​ Simbólicamente:

Esto, junto con el teorema de la deducción, permite establecer el metateorema:^[1]​

Y cuando ${displaystyle Gamma }$ es el conjunto vacío:

El teorema de la deducción se utiliza en los sistemas de deducción natural como regla de introducción del condicional material. La regla dice que si suponiendo A se llega a la conclusión de que B, entonces se puede afirmar que A → B, introduciendo así un condicional material. Por ejemplo, una demostración que hace uso de la regla de introducción del condicional material podría ser: