Transformaciones conformes

En matemáticas, una transformación conforme es una función que preserva ángulos. En el caso más común la función es entre dominios del plano complejo.^[1]​^[2]​

En cartografía, una función de proyección conforme es una función de proyección que preserva los ángulos en todos salvo un número finito de puntos. Los ejemplos incluyen la proyección de Mercator y la proyección estereográfica.^[1]​^[2]​

En el análisis complejo, una transformación conforme es una función ${displaystyle fcolon A ightarrow mathbb {C} }$, diferenciable en ${displaystyle z_{0}in Asubset mathbb {C} }$, que preserva el ángulo que dos curvas ${displaystyle alpha colon [a,b] ightarrow A}$ y ${displaystyle eta colon [a,b] ightarrow A}$, diferenciables en ${displaystyle alpha ^{-1},(z_{0})}$ y ${displaystyle eta ^{-1},(z_{0})}$, respectivamente, forman entre sí en ${displaystyle z_{0}}$. Es decir f es conforme en ${displaystyle z_{0}}$ cuando se verifica

siempre y cuando ${displaystyle alpha ,'(z_{0})}$ y ${displaystyle eta ,'(z_{0}),}$ sean vectores tangentes no nulos.

Una definición equivalente es que una función es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de representación conforme de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.^[3]​

Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y solo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.