Cono (geometría)

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Es el perímetro de la base del cono. Se trata de una curva plana: una circunferencia si es un cono circular y una elipse si es un cono elíptico.

Es el punto fijo exterior al plano de la directriz. Ordinariamente, las respectivas semirrectas originadas por el vértice, generan dos partes de la superficie llamadas mantos.

Es la recta que pasa por el vértice y un punto de la directriz, la unión de estas rectas constituye la superficie cónica. También, se denomina altura inclinada.

Si la directriz es una circunferencia, el sólido limitado por la respectiva superficie cónica y el círculo que clausura la circunferencia se llama cono circular recto. Y el círculo respectivo se llama base del cono.

Se mide de abajo hacia arriba, en un caso restringido de que un triángulo rectángulo ( como subconjunto bidimensional) gire en torno de uno de sus catetos, y se engendra un cono circular recto. Justamente, el cateto eje se llama, tanto como segmento y cuanto en medida altura del cono.

Usualmente, se considera un círculo y un punto exterior al plano del círculo. La unión de todos los segmentos de extremo en un punto del círculo y extremo común, el punto exterior, se llama cono, considerado como un sólido geométrico.^[1]​^[2]​

Es el ángulo máximo entre dos rectas generatrices de la superficie lateral del cono.^[3]​

El área ${displaystyle A,}$ de la superficie del cono recto es:

donde r es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto es la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: ${displaystyle a={sqrt {h^{2}+r^{2}}},}$.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La distancia a es la longitud de la generatriz.

El valor del ángulo sombreado en la figura, en grados sexagesimales, es:

${displaystyle mathrm {{acute {a}}ngulo} =360{frac {r}{a}},}$.

El volumen ${displaystyle V,}$ de un cono de radio ${displaystyle r,}$ y altura ${displaystyle h,}$ es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:^[4]​

La ecuación se obtiene mediante ${displaystyle int _{0}^{h}A(x)dx,!}$,

donde ${displaystyle A(x),}$ es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura ${displaystyle h}$, en este caso ${displaystyle A(x)=pi left({frac {rx}{h}} ight)^{2}}$.

Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base.

Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución.

La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice, siendo perpendicular al plano de la base; pero no es coincidente con el eje del cono.

La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados y base semi-elíptica.

La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

${displaystyle V={frac {pi r^{2}h}{3}}}$

donde ${displaystyle scriptstyle r}$ es el radio de la base y ${displaystyle scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La ecuación del volumen de un cono oblicuo de base elíptica es:

${displaystyle V={frac {pi abh}{3}}}$

siendo ${displaystyle scriptstyle a}$ y ${displaystyle scriptstyle b}$ los semiejes de la elipse y ${displaystyle scriptstyle h}$ la altura del cono oblicuo. La justificación de estas dos fórmulas se basa en el principio de Cavalieri cuyo enunciado es el siguiente:

Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen

Igualmente dentro del cálculo infinitesimal las fórmulas anteriores puede demostrarse sin necesidad del principio de Cavalieri.

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en la astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}$

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

${displaystyle X( heta ,t)=(atcos( heta ),btsin( heta ),ct),,}$

que es llamada parametrización usual del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), este conjunto es obtenido a partir de rotar la recta ${displaystyle (t,0,{frac {c,t}{a}}),}$ respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

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