Cuaterna armónica

En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando

Se dice que la cuaterna formada por los puntos A, B, C, y D es una cuaterna armónica, cuando la razón doble de las longitudes de los segmentos asociados a los pares de puntos AB y CD, tiene el valor −1, es decir, cuando:

En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda).

Prescindiendo de la orientación de los segmentos, esta relación también se puede expresar como:

El producto de las longitudes de los segmentos extremos (el segmento total y el segmento interior), es igual al producto de las longitudes de los segmentos intermedios (los dos segmentos que separan el segmento interior del segmento total)", es decir:

Como se explica más adelante, las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes, así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo.

Propiedad fundamental:

Las cuaternas armónicas se conocen al menos desde siglo II a. C.. En la época del matemático griego Apolonio, este las incluyó en la proposición 34 del libro I de las Cónicas de Apolonio,^[1]​ relacionando las distancias entre: un punto exterior a una cónica; los dos puntos de corte generados en la cónica por una recta que pasa por su centro y el punto exterior dado; y la intersección con esta recta de la recta que pasa por las dos tangentes a la cónica desde el punto exterior. El desarrollo inicial de la geometría proyectiva por parte del matemático francés Girard Desargues (1591-1661) en siglo XVII, se vio culminado en el siglo XIX por la formulación rigurosa de las propiedades de esta rama de la matemática.

En este contexto, las cuaternas armónicas tuvieron un papel relevante, por cuanto intervinieron en la definición de la relación de proyectividad:

Posteriormente se demostró que las tres definiciones son equivalentes, de forma que se puede afirmar que dos figuras son proyectivas entre sí si están relacionadas armónica o inarmónicamente o puede deducirse la una de la otra por proyecciones y secciones.^[3]​

En el siglo XX, siguiendo la senda abierta por Staudt, matemáticos como John Wesley Young (1879-1932)^[4]​ o Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003)^[5]​ completaron las definiciones existentes, dando otro enfoque a la idea de conjugado armónico a través del concepto de un cuadrángulo completo.

El punto armónico conjugado de una terna ordenada de puntos en la recta proyectiva real se puede definir mediante la siguiente construcción:^[6]​

La posición del punto D no depende de qué punto se tome inicialmente como L, ni de qué línea se trace desde C para obtener M y N. Este hecho se deduce del Teorema de Desargues.

En la geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la razón doble como (A, B; C, D) = −1.

La construcción es reversible, de forma que si se conociera D (situado dentro de AB) en vez de C (situado fuera de AB), bastaría elegir como antes un punto L, pero ahora unirlo con A, D y B. A continuación, bastaría con lanzar un segmento cualquiera desde A que cortase a LD en K y a LB en N. Seguidamente, se prolonga el segmento BK hasta cortar el segmento LA en M. El corte de la recta MN con la recta AB, determina la posición del punto buscado C.

Los cuatro puntos a veces se denominan un rango armónico (sobre la línea proyectiva real), ya que se verifica que D siempre divide al segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente. Es decir:

Si a estos segmentos se les dota de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, tendrán su signo (positivo o negativo) y formarán una doble proporción, conocida como razón doble (o a veces también como razón cruzada):

por lo que las distancias de una cuaterna armónica de puntos se caracterizan por un valor de −1. En consecuencia, se establece que:

En general, el valor de una razón doble no es único, ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, hay solo tres valores de la razón doble: {−1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que al intercambiar los dos últimos puntos se obtienen cada uno de estos valores, pero no se produce ningún valor nuevo, y se conoce clásicamente como proporción armónica.

Cada uno de los dos términos de una razón doble, está formado por una razón simple:^[7]​ dados los puntos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ en una línea afín, la razón simple de un punto ${displaystyle x}$ viene dada por

Téngase en cuenta que cuando ${displaystyle a<x<b}$, entonces ${displaystyle t(x)}$ es negativo; y que es positivo cuando ${displaystyle x}$ queda fuera del intervalo.

La expresión ${displaystyle (c,d;a,b)=t(c)/t(d)}$ es una relación entre razones simples, lo que constituye una razón doble.

Si la razón doble vale −1, esto significa que ${displaystyle t(c)+t(d)=0}$, y por lo tanto, ${displaystyle c}$ y ${displaystyle d}$ son conjugados armónicos con respecto al segmento ${displaystyle [a,b]}$. En consecuencia, ambas razones simples deben ser iguales, y sus signos opuestos.

La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de la circunferencia de Apolonio.

En algunos textos escolares, la determinación de una cuaterna armónica se denomina "división armónica".

Cuando ${displaystyle x}$ es el punto medio del segmento ${displaystyle [a,b]}$, entonces

Por el criterio de la razón doble, el conjugado armónico de ${displaystyle x}$ será ${displaystyle y}$ cuando ${displaystyle t(y)=1}$. Pero no hay una solución finita para ${displaystyle y}$ en la recta que pasa a través de ${displaystyle [a,b]}$. Sin embargo,

lo que motiva la inclusión de un punto del infinito en la línea proyectiva. Este punto del infinito sirve como el conjugado armónico del punto medio ${displaystyle x}$ de un segmento ${displaystyle [a,b]}$.

Sus propiedades más importantes, deducidas analíticamente, son:^[3]​

Las fórmulas para calcular la longitud del segmento ${displaystyle [AT]}$ cuando se conocen las ordenadas del segmento ${displaystyle A,B}$ y del tercer punto de la cuaterna ${displaystyle S}$, vienen dadas por las fórmulas:

Fórmula explícita directa:

Fórmula explícita indirecta:

Si se introduce el segmento ${displaystyle A,B}$ en el eje de coordenadas ${displaystyle x}$ de modo que ${displaystyle A=0,B=1,S=s,T=t}$, entonces se obtiene la fórmula uniforme:

Ejemplos de cuaternas armónicas:

La fórmula uniforme (que relaciona las cantidades armónicas ${displaystyle s}$ y ${displaystyle t}$ respecto al segmento ${displaystyle [0,1]}$), también se puede expresar la manera siguiente:

De aquí se deduce que la media armónica de las dos coordenadas ${displaystyle s,t}$ de una cuaterna uniforme, es igual a 1.

También se prueba fácilmente^[8]​ que una secuencia de cuatro puntos alineados ${displaystyle (A,B,C,D)}$ está en división armónica si y solo si se verifican las relaciones siguientes:

Se tiene que:

Cuatro puntos ${displaystyle A,B,S,T}$ de una recta afín o proyectiva sobre un cuerpo ${displaystyle K}$ de característica ${displaystyle eq 2}$, son armónicos si su razón doble es ${displaystyle (A,B;S,T)=-1}$.

Términos tales como entre, dentro, fuera, longitudes, distancias, que son típicos de un cuerpo dispuesto con una métrica, no se requieren en esta definición. En particular, la posición armónica también se define para la línea afín/proyectiva sobre los números complejos o un campo finito.

La disposición anterior (${displaystyle A=0,B=1,S=s,T=t}$) también es posible sobre cualquier cuerpo en el caso afín, por lo que también se conserva la relación ${displaystyle t={ frac {s}{2s-1}} }$.

Si se completa la recta afín proyectiva con un punto del infinito representado por el símbolo ${displaystyle infty }$, también es posible establecer la relación anterior entre ${displaystyle s,t}$; y por lo tanto, los cuatro puntos ${displaystyle {color {blue}0},{color {red}{ frac {1}{2}}},{color {blue}1},{color {red}infty }}$ forman una cuaterna armónica, es decir, ${displaystyle ({color {blue}0},{color {blue}1};{color {red}{ frac {1}{2}}},{color {red}infty })=-1}$.

El significado de la disposición armónica de cuatro puntos colineales es que siempre existe una involución proyectiva de la recta, que fija dos de los cuatro puntos e invierte los otros dos. En la ilustración adjunta, la aplicación lineal que fija ${displaystyle {vec {u}}}$ y asigna a ${displaystyle {vec {v}}}$ el vector ${displaystyle -{vec {v}}}$ crea dicha involución. En coordenadas no homogéneas, se tiene que: ${displaystyle infty o infty ,x o -x}$ (con simetría en el punto cero). Es decir: ${displaystyle A,B}$ son fijos, con ${displaystyle S}$ y ${displaystyle T}$ intercambiados.

Por lo general se aplica:

En todos los casos considerados, se supone que el punto ${displaystyle S}$ cuyo conjugado armónico se quiere calcular respecto al segmento ${displaystyle [AB]}$, es un punto interior del citado segmento. En caso contrario, cuando el punto se halle en el exterior, basta realizar las operaciones geométricas en el orden contrario al descrito.

Dados tres puntos ${displaystyle A,B,S}$ sobre una línea recta del plano proyectivo, entonces la cuaterna armónica ${displaystyle (A,B;S,T)=-1}$ puede ser construida como sigue:

Dados el segmento ${displaystyle [A,B]}$ y el punto ${displaystyle S}$, para determinar el conjugado armónico ${displaystyle T}$ del punto respecto al segmento se puede usar la construcción siguiente:

Si se dispone del punto ${displaystyle T}$, el procedimiento es análogo, pero en orden inverso.

Si se desea que ${displaystyle |AS|:|SB|=lambda }$, entonces se debe elegir el punto ${displaystyle D}$ de modo que se cumpla ${displaystyle |AC|:|DB|=lambda }$. ${displaystyle S}$ se obtiene como la intersección de la rectas ${displaystyle CD}$ ${displaystyle AB}$.

Este procedimiento sirve para determinar un par de puntos cualquiera ${displaystyle SyT}$ que formen una cuaterna armónica respecto al segmento ${displaystyle [A,B]}$.

Sean ${displaystyle A,B,C}$ los vértices de un triángulo no isósceles. La bisectriz interior y la bisectriz exterior del ángulo que se forma en ${displaystyle C}$, generan los puntos ${displaystyle S,T}$ sobre la recta ${displaystyle AB}$, que completan una cuaterna armónica respecto al segmento ${displaystyle [A,B]}$. Si se desea que los segmentos guarden la proporción ${displaystyle b:a}$, entonces basta con localizar el vértice ${displaystyle C}$ utilizando distancias proporcionales a estos parámetros. En este caso, la construcción se vale de una propiedad de la circunferencia de Apolonio.^[9]​ Debe tenerse en cuenta que si ${displaystyle a=b}$, ${displaystyle S}$ se convierte en un punto impropio.

Otro método para obtener un cuarto punto armónico ${displaystyle T}$ de la terna colineal ${displaystyle A,B,S}$ se sirve de una construcción mediante regla y compás:

Si ${displaystyle S}$ se acerca a uno de los puntos ${displaystyle A}$ o ${displaystyle B}$, también lo hace ${displaystyle T}$. En cambio, si ${displaystyle S=M}$, entonces ${displaystyle (tparallel g)}$ y ${displaystyle T}$ se convierte en el punto del infinito de la recta ${displaystyle g}$.

Si los puntos dados son ${displaystyle A,B,T}$, la construcción es reversible. En este supuesto, para obtener ${displaystyle S}$ basta con determinar la tangente a la circunferencia desde ${displaystyle T}$, y proyectar el punto ${displaystyle Q}$ sobre la recta ${displaystyle g}$.

Para comprobar que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (es decir, que ${displaystyle |AS||TB|=|SB||AT|}$), se parte de la relación de semejanza entre los triángulos ${displaystyle MSQ}$ y ${displaystyle MQT}$. La razón doble es de forma automática -1, dado que ${displaystyle S}$ está dentro del segmento ${displaystyle [A,B]}$, y ${displaystyle T}$ está fuera. A partir de la relación de semejanza anterior, se deduce la ecuación:

Esta ecuación y el procedimiento de diseño (según la imagen) coinciden con la definición de una transformación de inversión, lo que implica que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica (cuando se usan números complejos, entonces ${displaystyle z o { frac {1}{overline {z}}}}$).

También se puede demostrar que una cuaterna armónica guarda una relación de inversión según la construcción anterior, partiendo de la primera condición (cuaterna armónica) y comprobando si se cumple la segunda (relación de inversión). Para simplificar la expresión de las ecuaciones, se definen las equivalencias siguientes:

${displaystyle d}$ es la longitud total de la cuaterna; ${displaystyle f}$ es la del segmento interior; y ${displaystyle r}$ el radio de la circunferencia que pasa por ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$. La condición de conjugados armónicos, implica que:

A partir de esta condición, se va a calcular el valor de ${displaystyle (r-f)*(d-r)}$, que es el producto de las distancias ${displaystyle (S-M)*(T-M)}$, que a su vez determina la relación de polaridad de los puntos ${displaystyle S}$ y ${displaystyle T}$ respecto a la circunferencia ${displaystyle k}$ con centro en ${displaystyle M}$ y que pasa por ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$. Despejando ${displaystyle f}$ de la relación armónica:

Una vez despejado el valor de ${displaystyle f}$, se calcula el producto de ${displaystyle (S-M)*(T-M)}$ (es decir, ${displaystyle ((r-f)*(d-r))}$

Tal como se quería comprobar, el producto calculado es ${displaystyle r^{2}}$, lo que confirma que los cuatro puntos armónicos guardan una relación de inversión.

El método descrito aquí para la construcción del cuarto punto armónico es un caso especial afín de la siguiente declaración:

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: Si P es un punto que no está en C, y si una recta variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B, entonces los distintos conjugados armónicos de P con respecto a distintas parejas de puntos A y B, se disponen en un segmento rectilíneo. El punto P se llama el polo de esa recta de conjugados armónicos, y esta recta se llama la recta polar de P con respecto a la cónica. Véase el artículo recta polar para más detalles.

En el caso en que la cónica sea un círculo, considerando los diámetros extendidos del círculo, se tiene que los conjugados armónicos con respecto al círculo son los puntos de inversión respecto al círculo dado. Este hecho se desprende de uno de los teoremas de Smogorzhevski:

En geometría euclidiana se demuestra que en cualquier triángulo, el centro de gravedad G, el ortocentro H, el centro del círculo circunscrito Ω y el centro de la circunferencia de los nueve puntos E, están los cuatro alineados en una línea llamada recta de Euler del triángulo. Estos cuatro puntos forman una cuaterna armónica (en el orden dado). Este hecho es el resultado de que H tiene por imagen Ω, y Ω tiene por imagen E mediante la misma homotecia de centro G y de relación -1/2.

Sea (C) una circunferencia y M y M’ dos puntos de manera que la línea (MM’) interseque la circunferencia (C) en dos puntos A y B distintos. Entonces, la circunferencia (C’) de diámetro [MM’] es ortogonal a (C) si y solo si [MM’] divide armónicamente [AB].

Entonces se dice que M y M’ están conjugados con respecto a la circunferencia (C).

Demostración:

Sean O y O’, los centros de (C) y (C’), con O’ en el punto medio de [MM’]. Sean R y R’ sus radios. De acuerdo con la expresión de la «potencia de un punto»:

Las dos circunferencias son ortogonales si y solo si O’O² = R² + R’² (ángulo recto en el punto de contacto), y si y solamente si:

Deducimos que las dos circunferencias son ortogonales si y solo si la división es armónica según la relación de Newton.

Dos puntos M y M’ se llamarán conjugados por relación con una circunferencia (C) si uno de ellos es interior a (C) y el otro exterior y la circunferencia de diámetro [MM] es ortogonal a (C).

Propiedad:

Dos puntos son conjugados con respecto a una circunferencia de centro O si y solo si:

Siendo O’ el punto medio de [MM’], y por lo tanto el centro de la nueva circunferencia, y T un punto de intersección entre las dos circunferencias, entonces OT² = R². Usando esto se obtiene:

${displaystyle {overrightarrow {OM}}{overrightarrow {OM'}}=({overrightarrow {OT}}+{overrightarrow {TO'}}+{overrightarrow {O'M'}})({overrightarrow {OT}}+{overrightarrow {TO'}}+{overrightarrow {O'M}})=R^{2}+2,{overrightarrow {OT}}{overrightarrow {O'T}}{ ext{; es decir: }}}$ ${displaystyle ({overrightarrow {O'M}}=-{overrightarrow {O'M'}})}$

de ahí el resultado.

El conjunto de conjugados de un punto con respecto a una circunferencia es la recta polar de este punto con respecto a esta circunferencia.

En la geometría de Galois sobre un cuerpo finito GF(q) una recta tiene q+1 puntos, donde ${displaystyle infty }$=(1,0). En esta recta, cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos de ellos distan armónicamente de los otros dos. La condición

caracteriza tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a su delimitación de algunos isomorfismos accidentales de los grupos proyectivos lineales PGL (2, q) para q = 5, 7 y 9.^[10]​

Si q=2ⁿ, entonces el conjugado armónico de C es él mismo.^[11]​

Sea CD un segmento y E el punto división áurea del mismo. Sea F el conjugado armónico de E respecto de CD y G el punto división áurea del segmento FE (es importante el orden). Entonces el segmento FE tiene tamaño doble de CD y el punto G es simétrico de E respecto de D.

Sean ${displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ tres puntos diferentes en una recta proyectiva real.

Considérese la secuencia infinita de puntos ${displaystyle P_{n}}$, donde ${displaystyle P_{n}}$ es el conjugado armónico de ${displaystyle P_{n-3}}$ con respecto a ${displaystyle P_{n-1},P_{n-2}}$ para ${displaystyle n>2}$.^[12]​

Entonces, cuando la sucesión de los ${displaystyle P_{n}}$ es convergente, el límite ${displaystyle lim _{n ightarrow infty }{frac {P_{n+2}-P_{n+1}}{P_{n+1}-P_{n}}}=-Phi ^{-2}=-0,381966011...}$; donde ${displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$ es el número áureo.

Este resultado es independiente de los tres puntos ${displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ que se elijan como comienzo de la serie, siempre que la sucesión obtenida sea convergente.

Demostración:

Para simplificar el cálculo del límite, se puede establecer la condición de que los términos de la serie formen una progresión geométrica, es decir, que ${displaystyle P_{n}=q^{n}}$. Por lo tanto, cada cuatro puntos consecutivos de la serie, por ser conjugados armónicos, deben cumplir la condición:

En consecuencia, se obtiene el polinomio ${displaystyle q^{2}+3q+1=0}$, con las soluciones ${displaystyle q_{1}={frac {-3+{sqrt {5}}}{2}}=-Phi ^{-2}}$ y ${displaystyle q_{2}={frac {-3-{sqrt {5}}}{2}}=-Phi ^{2}}$

Tal como se ha calculado, el valor ${displaystyle q_{1}}$ permite que los términos de la serie tomen la forma ${displaystyle P_{n}=q_{1}^{,,n}}$. Como el valor absoluto de ${displaystyle |q_{1}|<1}$, entonces la serie de ${displaystyle P_{n}}$ es convergente y tiende a cero.

Sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

Esta condición también se cumple en el resto de sucesiones de ${displaystyle P_{n}}$ convergentes, teniendo en cuenta que la influencia de los valores iniciales acaba desapareciendo tras una serie de iteraciones.

En el caso de ${displaystyle q_{2}}$, su valor absoluto ${displaystyle |q_{2}|>1}$, por lo que la serie ${displaystyle P_{n}}$ no es convergente. Como en el caso anterior, sustituyendo estos términos en la expresón del límite, se tiene que:

---