En matemáticas, la derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función que se asume como no diferenciable, pero sí integrable, es decir, residen en un espacio Lp . Véase distribución para una definición aún más generalizada.
Sea una función en un espacio de Lebesgue . Decimos que en es una derivada débil de si y sólo si:
para cualquier en . Esta definición está motivada por la técnica de integración por partes.
Generalizando a dimensiones, si y se encuentran en el espacio de funciones localmente integrables para algunos conjuntos abiertos , y si es un multiíndice, decimos que es el -ésima derivada débil de si y sólo si:
para cualquier en , es decir, para cualquier función infinitamente diferenciable con soporte compacto en . Si tiene derivada débil, a menudo escrita como , ya que la derivada débil es única (por lo menos, en un conjunto de medida cero).
Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sóbolev, que son útiles para los problemas de ecuaciones diferenciales y en el análisis funcional.
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