Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.
Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.
Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos
Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen, siendo los elementos del conjunto que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos conocidos como, la intersección del conjunto.
Intersección = 1, 3
Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que está incluido en el segundo. En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).
Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía. Y es tal
A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeración y por comprensión.
Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.
Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, de silogismos— se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notación clara y sencilla. El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.
Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:
Si bien fue Venn quien introdujo la expresión «universo del discurso», él nunca representó al universal en sus trabajos. Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido como Lewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños que popularizó el concepto de conjunto complementario. El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase paradoja de Russell). Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en una reciente extensión de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universo del discurso). Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.
Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló su nuevo sistema en el libro Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas. Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el titulado Los principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.
La primera constancia escrita del uso de la expresión «diagrama de Venn» es muy tardía (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.
Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por comunicaciones de sus elementos o por indicación de una característica común que los identifica unívocamente. De ahí que haya dos tipos de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o conceptos. Estos últimos son más interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales.
Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones básicas con conjuntos usando el código del semáforo de dos colores.
Como se desprende de las igualdades, con las dos primeras operaciones (negación y conjunción), es posible hacer las otras dos (disyunción y sustracción).
El código de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeración: rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entonces digitalizar. Y a los términos que participan de las operaciones, también. De este modo, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con números.
Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda dividido el conjunto universal con una, dos y tres definiciones.
Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definición.
Tiene solamente 2 regiones: la de los elementos que responden a la definición A y la de los que se oponen a ella.
Tiene 4 regiones. Considérese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de los animales bípedos y el conjunto B es el de los animales que pueden volar. El área donde las dos regiones se superponen contiene por lo tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bípedos y pueden volar. En resumen:
Los pingüinos, que tienen dos patas y no pueden volar, están en la región amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar, están en la región azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, están en la región verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden volar, están en la región gris.
Tienen 8 regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los más usados por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicación podría ser el siguiente: dado un grupo de personas, A es el conjunto de las de sexo masculino, B el conjunto de las mayores de 18 años y C el conjunto de las que trabajan. De este modo, la región verde sería la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 años, que no trabajan.
La dificultad de representar más de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó varias representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres círculos.
Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para más de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Tres conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.
Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basan en la intersección de polígonos con cantidades crecientes de lados. Phillip Smith ideó diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales con ecuaciones del tipo y = sen(2i x)/2i, 0 ≤ i ≤ n – 2. Por su parte, Lewis Carroll diseñó un diagrama de cinco conjuntos.
A continuación se hace referencia a representaciones relacionadas con los diagramas de Venn.
Las líneas de Leibniz fueron las primeras representaciones de conceptos lógicos. Leibniz también representó los conceptos con círculos, pero prefería las líneas.
Los círculos de Euler preceden históricamente a los diagramas de Venn y en algunas aplicaciones son todavía usados.
La diferencia entre los diagramas de Euler y de Venn se observa sobre todo en las relaciones de inclusión y de disyunción.
Los diagramas de Venn muestran la topología del sistema sin que sea necesario modificar la posición relativa de los conjuntos, a costa de introducir una nueva convención: el sombreado de las regiones vacías.
Los mapas de Karnaugh o diagramas de Veitch son una representación visual de expresiones del álgebra de Boole.
Los gráficos de Peirce son extensiones de los diagramas de Venn que incluyen información sobre afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.
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