En geometría diferencial, la geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales (por ejemplo, una variedad de Riemann) con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de estas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.
Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.
Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensión 4) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.
No hay introducción fácil a la geometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden servir como introducción:
La geometría riemanniana fue planteada por primera vez en general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Se ocupa de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluyendo los tipos estándar de geometría no euclidiana.
Toda variedad suave admite una métrica de Riemann, que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial. También sirve como nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-riemannianas, que (en cuatro dimensiones) son los principales objetos de la teoría de la relatividad general. Otras generalizaciones de la geometría riemanniana son la geometría de Finsler.
Existe una estrecha analogía de la geometría diferencial con la estructura matemática de los defectos en los cristales regulares. Las dislocaciones y disclinaciones producen torsiones y curvaturas.
Los siguientes artículos proporcionan algún material introductorio útil:
Lo que sigue es una lista no completa de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace dependiendo de su belleza, de la importancia y simplicidad de la formulación.
En todos los teoremas siguientes asumimos algún comportamiento local del espacio (normalmente formulado usando la suposición de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluyendo alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre el comportamiento de los puntos a distancias "suficientemente grandes".
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