Grafos

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen)^[1]​ es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.^[2]​ Son objeto de estudio de la teoría de grafos.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas o arcos).

Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

El primer artículo científico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas. Dos de los puentes unen la isla mayor con la margen oriental y otros dos con la margen occidental. La isla menor está conectada a cada margen por un puente y el séptimo puente une ambas islas. El problema planteaba lo siguiente: ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo solo una vez cada uno y regresando al mismo punto de partida?

Abstrayendo este problema y planteándolo con la (entonces aún básica) teoría de grafos, Euler consigue demostrar que el grafo asociado al esquema de puentes de Königsberg no tiene solución, es decir, no es posible regresar al vértice de partida sin pasar por alguna arista dos veces.

De hecho, Euler resuelve el problema más general: ¿qué condiciones debe satisfacer un grafo para garantizar que se puede regresar al vértice de partida sin pasar por la misma arista más de una vez? Si definimos como «grado» al número de líneas que se encuentran en un punto de un grafo, entonces la respuesta al problema es que los puentes de un pueblo se pueden atravesar exactamente una vez si, salvo a lo sumo dos, todos los puntos tienen un grado par.

Un grafo ${displaystyle G}$ es un par ordenado ${displaystyle G=(V,E)}$, donde:

Normalmente ${displaystyle V}$ suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo ${displaystyle G}$ a su número de vértices, ${displaystyle |V|}$.

El grado de un vértice o nodo ${displaystyle vin V}$ es igual al número de arcos que lo tienen como extremo.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Dos o más aristas son paralelas si relacionan el mismo par de vértices.

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo ${displaystyle G=(V,E)}$ donde:

Un par no ordenado es un conjunto de la forma ${displaystyle {a,b}}$, de manera que ${displaystyle {a,b}={b,a}}$. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de ${displaystyle V}$, denotado ${displaystyle {mathcal {P}}(V)}$, y son de cardinalidad 2.

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo ${displaystyle G=(V,E)}$ donde:

Dada una arista ${displaystyle (a,b)}$, ${displaystyle a}$ es su nodo inicial y ${displaystyle b}$ su nodo final.

Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.

Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

Algunas aplicaciones requieren extensiones más generales a las dos propuestas clásicas de grafos. Aunque la definición original los permite, según la aplicación concreta pueden ser válidos o no. A veces ${displaystyle V}$ o ${displaystyle E}$ pueden ser un multiconjunto, pudiendo haber más de una arista entre cada par de vértices. La palabra grafo (a secas) puede permitir o no múltiples aristas entre cada par de vértices, dependiendo del autor de la referencia consultada. Si se quiere remarcar la inexistencia de múltiples aristas entre cada par de vértices (y en el caso no dirigido, excluir bucles) el grafo puede llamarse simple. Por otra parte, si se quiere asegurar la posibilidad de permitir múltiples aristas, el grafo puede llamarse multigrafo (a veces se utiliza el término pseudografo para indicar que se permiten tanto bucles como múltiples aristas entre cada par de vértices).

Las dos representaciones principales de grafos son las siguientes:

La imagen es una representación del siguiente grafo:

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

Existen grafos que poseen propiedades destacables. Algunos ejemplos básicos son:

Una generalización de los grafos son los llamados hipergrafos.

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