Integral de línea

En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.

La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.

Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:

Sea ${displaystyle Csubset mathbb {R} ^{n}}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$, si ${displaystyle f:C ightarrow mathbb {R} }$ es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar ${displaystyle f}$ sobre ${displaystyle C}$ (también llamada integral de trayectoria), está definida como

La función ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de ${displaystyle C}$ donde ${displaystyle mathbf {r} (a)}$ y ${displaystyle mathbf {r} (b)}$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

En particular, cuando ${displaystyle f=1}$ entonces obtenemos la longitud de la curva ${displaystyle C}$, esto es

Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de ${displaystyle C}$ porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de ${displaystyle C}$, esto es, si ${displaystyle C}$ es una curva simple orientada y ${displaystyle -C}$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces

Geométricamente, cuando el campo escalar ${displaystyle f}$ está definida sobre el plano ${displaystyle (n=2)}$, su gráfica es una superficie ${displaystyle z=f(x,y)}$ en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valle entre la base de la imagen de ${displaystyle C}$ y la gráfica de ${displaystyle f}$.

Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann ${displaystyle S_{N}}$.

Comencemos subdividiendo el intervalo ${displaystyle [a,b]}$ por medio de la partición

lo anterior conduce a una descomposición de ${displaystyle mathbf {r} }$ en trayectorias ${displaystyle mathbf {r} _{i}}$ definidas en el intervalo ${displaystyle [t_{i},t_{i+1}]}$ para ${displaystyle i=0,1,dots ,N-1}$, si denotamos la longitud de arco de ${displaystyle mathbf {r} _{i}}$ por ${displaystyle Delta s_{i}}$ entonces

Cuando ${displaystyle N o infty }$, es decir, ${displaystyle N}$ es grande, la longitud de arco ${displaystyle Delta s_{i}}$ es pequeña y ${displaystyle f}$ es aproximadamente constante para puntos en ${displaystyle mathbf {r} _{i}}$. Consideremos las sumas

donde ${displaystyle mathbf {r} (t)}$ está definida para ${displaystyle tin [t_{i},t_{i+1}]}$.

Por el teorema del valor medio, ${displaystyle Delta s_{i}=||mathbf {r} '(varphi _{i})||Delta t_{i}}$ donde ${displaystyle t_{i}leq varphi _{i}leq t_{i+1}}$ y ${displaystyle Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}}$. A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que

Se desea evaluar la integral de línea

sobre la hélice ${displaystyle mathbf {r} :[0,2pi ] o mathbb {R} ^{3}}$, ${displaystyle tmapsto (cos t,operatorname {sen} t,t)}$.

En primer lugar notemos que

por lo que

y como

entonces

Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio ${displaystyle r}$ es ${displaystyle 2pi r}$, es decir, buscamos hallar

siendo ${displaystyle C}$ la longitud de una circunferencia de radio ${displaystyle r}$.

Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio ${displaystyle r}$ centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es

Dado que

Por lo tanto

Sean ${displaystyle mathbf {F} :U ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ un campo vectorial continuo en una región ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle Csubset U}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$, la integral de línea del campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} }$ sobre ${displaystyle C}$ en la dirección de ${displaystyle mathbf {r} }$, está definida como

donde ${displaystyle cdot }$ es el producto escalar y la función ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ es una parametrización biyectiva arbitraria de ${displaystyle C}$ donde ${displaystyle r(a)}$ y ${displaystyle r(b)}$ son los puntos iniciales y finales respectivamente.

Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de ${displaystyle C}$, no son independientes de la orientación de ${displaystyle C}$, para este tipo de integrales, si ${displaystyle C}$ es una curva simple orientada y ${displaystyle -C}$ denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces${displaystyle int _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {r} =-int _{-C}mathbf {F} cdot dmathbf {r} }$

Para trayectorias ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ que satisfagan ${displaystyle mathbf {r'} (t) eq mathbf {0} ,;forall ;tin [a,b]}$ si

denota un vector tangente unitario a ${displaystyle C}$ entonces

donde ${displaystyle f=mathbf {F} cdot mathbf {T} }$, por lo tanto

Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ de la forma ${displaystyle mathbf {F} (x,y)=left(M,N ight)}$ y ${displaystyle C}$ es una curva parametrizada por ${displaystyle mathbf {r} (t)=left(x(t),y(t) ight),;aleq tleq b}$ entonces

Decimos que la expresión ${displaystyle M;dx+N;dy}$ es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$.

Si ${displaystyle C}$ es una curva cerrada simple entonces es común la notación

y para la forma diferencial

Sea ${displaystyle mathbf {F} :U ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ una función continua en la región ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$, decimos que ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo en ${displaystyle U}$ si existe ${displaystyle f:U ightarrow mathbb {R} }$ tal que ${displaystyle mathbf {F} = abla f}$, en este caso decimos que ${displaystyle f}$ es un campo potencial de ${displaystyle mathbf {F} }$.

Si ${displaystyle mathbf {F} :U ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ es un campo vectorial conservativo en ${displaystyle Usubset mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle Csubset U}$ una curva suave a trozos parametrizada por una función ${displaystyle mathbf {r} :[a,b] ightarrow mathbb {R} ^{n}}$ entonces

En particular, si ${displaystyle C}$ es una curva orientada cerrada y simple

Lo anterior dice que cuando ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización ${displaystyle mathbf {r} }$. En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) ${displaystyle mathbf {F} }$ es un campo vectorial conservativo.

En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que ${displaystyle Usubset mathbb {C} }$ es una región abierta en el plano complejo, ${displaystyle f:U ightarrow mathbb {C} }$ es una función y ${displaystyle Lsubset U}$ es una curva de longitud finita parametrizada por

donde

Si la parametrización ${displaystyle gamma }$ es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:

Cuando ${displaystyle f}$ es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

---