Teorema de Liouville (análisis complejo)

En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante. Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función ${displaystyle cos(x)}$, que está acotada pero no es constante).

Sea ${displaystyle f:mathbb {C} o mathbb {C} }$ una función entera^[1]​ y acotada, es decir, existe ${displaystyle M>0}$ tal que

entonces resulta que ${displaystyle f}$ es constante.

Una versión más general de este teorema afirma que si ${displaystyle f:mathbb {C} o mathbb {C} }$ es una función entera y si ${displaystyle forall zin mathbb {C} }$ se tiene que ${displaystyle |f(z)|leq C+D|z|^{n}}$, con ${displaystyle C,;D>0}$ para algún ${displaystyle nin mathbb {N} _{0}}$, entonces ${displaystyle f}$ debe ser un polinomio de grado a lo más ${displaystyle n}$. Como consecuencia directa de lo anterior, si ${displaystyle |f(z)|leq |p(z)|,;forall zin mathbb {C} }$, con ${displaystyle p(z)in mathbb {C} [z]}$, un polinomio de grado ${displaystyle n}$, entonces ${displaystyle f}$ es un polinomio de grado a lo más ${displaystyle n}$.

La fórmula integral de Cauchy dice que

${displaystyle f'(z)={frac {1}{2pi ,i}}oint _{|z-zeta |=r}{frac {f(zeta )}{(z-zeta )^{2}}}dzeta .}$

De modo que

${displaystyle |f'(z)|leq {frac {1}{2pi }}{frac {M}{r^{2}}},2pi ,r={frac {M}{r}}.}$

Como podemos elegir ${displaystyle r}$ tan grande como queramos, concluimos que ${displaystyle f'(z)=0}$ para todo ${displaystyle z}$ en ${displaystyle mathbb {C} }$. Finalmente, como ${displaystyle f}$ está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en ${displaystyle mathbb {C} }$ tiene una raíz en ${displaystyle mathbb {C} }$. La demostración es la siguiente:

Luego ${displaystyle Q(z)}$ es acotada para ${displaystyle |z|>R}$, pero como es continua, también es acotada en el disco ${displaystyle |z|leq R}$. Aplicando el teorema de Liouville, la función ${displaystyle Q(z)}$ es constante, por lo que ${displaystyle P}$ también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces ${displaystyle P}$ debe tener una raíz.^[2]​

Nótese que se sigue fácilmente que entonces ${displaystyle P}$ tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez ${displaystyle P}$ por ${displaystyle (z-z_{0})}$, donde ${displaystyle z_{0}}$ es la raíz recién encontrada.

Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

${displaystyle ho :mathbb {C} longrightarrow mathbb {C} qquad lambda mapsto ho _{lambda }=|(lambda I-B)^{-1}|}$

Donde ${displaystyle B;}$ es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:

${displaystyle lim _{lambda o infty } ho _{lambda }=0}$

Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradiría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.

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