Ley de Lorentz

En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.

Para una partícula sometida a un campo eléctrico combinado con un campo magnético, la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz sobre esa partícula viene dada por:

${displaystyle {vec {F}}=q({vec {v}} imes {vec {B}}+{vec {E}}),}$

donde ${displaystyle mathbf {v} }$ es la velocidad de la carga, ${displaystyle mathbf {E} }$ es el vector intensidad de campo eléctrico y ${displaystyle mathbf {B} }$ es el vector inducción magnética. La expresión siguiente está relacionada con la fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor por el que circula corriente:

${displaystyle mathbf {F} =int _{L}Icdot dmathbf {l} imes mathbf {B} }$

donde ${displaystyle L,}$ es la longitud del conductor, ${displaystyle I,}$ es la intensidad de corriente y ${displaystyle mathbf {B} }$ la inducción magnética. A pesar de ser una consecuencia directa de ella, esta última expresión históricamente se encontró antes que la anterior, debido a que las corrientes eléctricas se manejaban antes de que estuviese claro si la carga eléctrica era un fluido continuo o estaba constituida por pequeñas cargas discretas.

Si los campos eléctrico ${displaystyle mathbf {E} }$ y magnético ${displaystyle mathbf {B} }$ no son modificados por la presencia de la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente ${displaystyle mathbf {J} }$, y las dos últimas no son modificadas por dichos campos, la fuerza de Lorentz se puede expresar como:

${displaystyle mathbf {f} =int _{V}( ho mathbf {E} +mathbf {J} imes mathbf {B} ) dV}$

Como en general esto no es cierto, la resolución de las fuerzas resultantes requiere el uso de consideraciones energéticas y la resolución de ecuaciones diferenciales derivadas de las ecuaciones de Maxwell.

En teoría de la relatividad conviene escribir las leyes físicas en forma explícitamente tensorial. Eso implica que las magnitudes que se transforman vectorialmente como, por ejemplo, la velocidad o la densidad de corriente, deben ser representadas por cuadrivectores. La fuerza de Lorentz escrita en forma explícitamente tensorial es:

${displaystyle f_{alpha }=sum _{eta =0}^{3}qF_{alpha eta }u^{eta },}$ (expresión tensorial relativista)

Donde:

${displaystyle mathbf {F} ={egin{pmatrix}F_{00}&F_{01}&F_{02}&F_{03}\F_{01}&F_{11}&F_{12}&F_{13}\F_{02}&F_{21}&F_{22}&F_{23}\F_{03}&F_{31}&F_{32}&F_{33}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0end{pmatrix}}}$

La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acción-reacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera.^[1]​ Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es, utilizando la Ley de Biot-Savart:

${displaystyle mathbf {F} _{12}=q_{2}mathbf {v} _{2} imes mathbf {B} _{1}={frac {mu q_{2}q_{1}}{4pi }}{frac {left(mathbf {v} _{2} imes (mathbf {v} _{1} imes (mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})) ight)}{d^{3}}}}$

Donde los ${displaystyle mathbf {r} _{i}}$ son los valores de posición respectivos, ${displaystyle mathbf {v} _{i}}$ las velocidades lineales respectivas, q_i las cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y ${displaystyle mathbf {B} _{i}}$ los campos magnéticos. Análogamente la fuerza de la partícula 2 sobre la partícula 1 es:

${displaystyle mathbf {F} _{21}=q_{1}mathbf {v} _{1} imes mathbf {B} _{2}={frac {mu q_{2}q_{1}}{4pi }}{frac {left(mathbf {v} _{1} imes (mathbf {v} _{2} imes (mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2})) ight)}{d^{3}}}}$

Empleando la identidad ${displaystyle mathbf {a} imes (mathbf {b} imes mathbf {c} )=(mathbf {a} cdot mathbf {c} )mathbf {b} -(mathbf {a} cdot mathbf {b} )mathbf {c} }$ puede verse que la primera fuerza está en el plano formado por ${displaystyle mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{1}}$ que la segunda fuerza está en el plano formado por ${displaystyle mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}}$ y ${displaystyle mathbf {v} _{2}}$.

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