Campo magnético

Un campo magnético es una descripción matemática de la influencia magnética de las corrientes eléctricas y de los materiales magnéticos.^[1]​ El campo magnético en cualquier punto está especificado por dos valores, la dirección y la magnitud; de tal forma que es un campo vectorial. Específicamente, el campo magnético es un vector axial, como lo son los momentos mecánicos y los campos rotacionales. El campo magnético es más comúnmente definido en términos de la fuerza de Lorentz ejercida en cargas eléctricas.

El término se usa para dos campos distintos pero estrechamente relacionados, indicados por los símbolos B y H, donde, en el Sistema Internacional de Unidades, H se mide en unidades de amperios por metro y B se mide en teslas o newtons por metro entre amperio. En un vacío, H y B son lo mismo aparte de las unidades; pero en un material con magnetización (denotado por el símbolo M), B es solenoidal (no tiene divergencia en su dependencia espacial) mientras que H es no rotacional (libre de ondulaciones).

Los campos magnéticos se producen por cualquier carga eléctrica producida por los electrones en movimiento y el momento magnético intrínseco de las partículas elementales asociadas con una propiedad cuántica fundamental, su espín. En la relatividad especial, campos eléctricos y magnéticos son dos aspectos interrelacionados de un objeto, llamado el tensor electromagnético. Las fuerzas magnéticas dan información sobre la carga que lleva un material a través del efecto Hall. La interacción de los campos magnéticos en dispositivos eléctricos tales como transformadores es estudiada en la disciplina de circuitos magnéticos.

Entre las definiciones de campo magnético se encuentra la dada por la fuerza de Lorentz. Esto sería el efecto generado por una corriente eléctrica o un imán, sobre una región del espacio en la que una carga eléctrica puntual de valor (q), que se desplaza a una velocidad ${displaystyle mathbf {(v)} }$, experimenta los efectos de una fuerza que es secante y proporcional tanto a la velocidad (v) como al campo (B). Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente ecuación:

${displaystyle mathbf {F} =q(mathbf {v} imes mathbf {B} )}$

Donde F es la fuerza magnética, v es la velocidad y B el campo magnético, también llamado inducción magnética y densidad de flujo magnético. (Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el producto vectorial tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B). El módulo de la fuerza resultante será:

${displaystyle |mathbf {F} |=|q||mathbf {v} ||mathbf {B} |cdot mathop {operatorname {sen} } ( heta )}$

La existencia de un campo magnético se pone de manifiesto gracias a la propiedad de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que evidencia la existencia del campo magnético terrestre, puede ser considerada un magnetómetro.La ley de Lorentz establece que una partícula cargada q que circula a una velocidad v→ por un punto en el que existe una intensidad de campo magnético B→, sufrirá la acción de una fuerza F→ denominada fuerza de Lorentz cuyo valor es proporcional al valor de q, B→ y v→ se obtiene por medio de la siguiente expresión:

Si bien algunos materiales magnéticos han sido conocidos desde la antigüedad, como por ejemplo el poder de atracción que la magnetita ejerce sobre el hierro, no fue sino hasta el siglo XIX cuando la relación entre la electricidad y el magnetismo quedó plasmada, pasando ambos campos de ser diferenciados a formar el cuerpo de lo que se conoce como electromagnetismo.

Antes de 1820, el único magnetismo conocido era el del hierro. Esto cambió con un profesor de ciencias poco conocido de la Universidad de Copenhague, Dinamarca, Hans Christian Oersted. En 1820 Oersted preparó en su casa una demostración científica a sus amigos y estudiantes. Planeó demostrar el calentamiento de un hilo por una corriente eléctrica y también llevar a cabo demostraciones sobre el magnetismo, para lo cual dispuso de una aguja de brújula montada sobre una peana de madera.

Mientras llevaba a cabo su demostración eléctrica, Oersted notó para su sorpresa que cada vez que se conectaba la corriente eléctrica, se movía la aguja de la brújula. Se calló y finalizó las demostraciones, pero en los meses sucesivos trabajó duro intentando explicarse el nuevo fenómeno.¡Pero no pudo! La aguja no era ni atraída ni repelida por la corriente. En vez de eso tendía a quedarse en ángulo recto. Hoy sabemos que esto es una prueba fehaciente de la relación intrínseca entre el campo magnético y el campo eléctrico plasmada en las ecuaciones de Maxwell.

Como ejemplo para ver la naturaleza un poco distinta del campo magnético basta considerar el intento de separar el polo de un imán. Aunque rompamos un imán por la mitad este "reproduce" sus dos polos. Si ahora volvemos a partir otra vez en dos, nuevamente tendremos cada trozo con los polos norte y sur diferenciados. En magnetismo no se han observado los monopolos magnéticos.

El nombre de campo magnético o intensidad del campo magnético se aplica a dos magnitudes:

Desde un punto de vista físico, ambos son equivalentes en el vacío, salvo en una constante de proporcionalidad (permeabilidad) que depende del sistema de unidades: 1 en el sistema de Gauss, ${displaystyle mu _{0}=4pi cdot 10^{-7}{mbox{N}}{{mbox{A}}^{-2}}}$ en el SI. Solo se diferencian en medios materiales con el fenómeno de la magnetización.

El campo H se ha considerado tradicionalmente el campo principal o intensidad de campo magnético, ya que se puede relacionar con unas cargas, masas o polos magnéticos por medio de una ley similar a la de Coulomb para la electricidad. Maxwell, por ejemplo, utilizó este enfoque, aunque aclarando que esas cargas eran ficticias. Con ello, no solo se parte de leyes similares en los campos eléctricos y magnéticos (incluyendo la posibilidad de definir un potencial escalar magnético), sino que en medios materiales, con la equiparación matemática de H con E, por un lado, y de B con D, por otro, se pueden establecer paralelismos útiles en las condiciones de contorno y las relaciones termodinámicas; las fórmulas correspondientes en el sistema electromagnético de Gauss son:

${displaystyle {egin{array}{lll}mathbf {B} =mu mathbf {H} &qquad &mathbf {H} =mathbf {B} -4pi mathbf {M} \mathbf {D} =epsilon mathbf {E} &&mathbf {E} =mathbf {D} -4pi mathbf {P} end{array}}}$

En electrotecnia no es raro que se conserve este punto de vista porque resulta práctico.

Con la llegada de las teorías del electrón de Lorentz y Poincaré, y de la relatividad de Einstein, quedó claro que estos paralelismos no se corresponden con la realidad física de los fenómenos, por lo que hoy es frecuente, sobre todo en física, que el nombre de campo magnético se aplique a B (por ejemplo, en los textos de Alonso-Finn y de Feynman).^[2]​ En la formulación relativista del electromagnetismo, E no se agrupa con H para el tensor de intensidades, sino con B.

En 1944, F. Rasetti preparó un experimento para dilucidar cuál de los dos campos era el fundamental, es decir, aquel que actúa sobre una carga en movimiento, y el resultado fue que el campo magnético real era B y no H.^[3]​

Para caracterizar H y B se ha recurrido a varias distinciones. Así, H describe cuan intenso es el campo magnético en la región que afecta, mientras que B es la cantidad de flujo magnético por unidad de área que aparece en esa misma región. Otra distinción que se hace en ocasiones es que H se refiere al campo en función de sus fuentes (las corrientes eléctricas) y B al campo en función de sus efectos (fuerzas sobre las cargas).

Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de ellas es una corriente eléctrica de conducción, que da lugar a un campo magnético estático, si es constante. Por otro lado una corriente de desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo, incluso aunque aquella sea estacionaria.

La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica está dada por la ley de Ampère. El caso más general, que incluye a la corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampère-Maxwell.

El campo magnético generado por una única carga en movimiento (no por una corriente eléctrica) se puede calcular de manera aproximada a partir de la siguiente expresión derivada de la ley de Biot-Savart:

${displaystyle mathbf {B} ={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {(qmathbf {v} ) imes {hat {mathbf {u} }}_{r}}{r^{2}}}}$

Donde ${displaystyle mu _{0}=4pi cdot 10^{-7}{frac {mbox{N}}{{mbox{A}}^{2}}}}$. Esta última expresión define un campo vectorial solenoidal, para distribuciones de cargas en movimiento la expresión es diferente, pero puede probarse que el campo magnético sigue siendo un campo solenoidal. Es una aproximación debido a que, al partir de una corriente continua de cargas e intentar transformar la ley para cargas puntuales, se desprecian las interacciones entre las cargas de la corriente. Esta aproximación es útil para bajas velocidades (respecto a la velocidad de la luz).

La inexistencia de cargas magnéticas lleva a que el campo magnético es un campo solenoidal, lo que lleva a que localmente puede ser derivado de un potencial vector ${displaystyle mathbf {A} }$, es decir:

${displaystyle mathbf {B} = abla imes mathbf {A} }$

A su vez este potencial vector puede ser relacionado con el vector densidad de corriente mediante la relación:

${displaystyle Delta mathbf {A} =mu _{0}mathbf {j} }$

La ecuación anterior planteada sobre ${displaystyle scriptstyle mathbb {R} ^{3}}$, con una distribución de cargas contenida en un conjunto compacto, la solución es expresable en forma de integral. Y el campo magnético de una distribución de carga viene dado por:

${displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} )={frac {mu _{0}}{4pi }}int _{V_{1}}{frac {mathbf {j} _{1} imes mathbf {hat {u}} _{r}}{|mathbf {r} -mathbf {r} _{1}|^{2}}} mathrm {d} V_{1}}$

Cabe destacar que, a diferencia del campo eléctrico, en el campo magnético no se ha comprobado la existencia de monopolos magnéticos, solo dipolos magnéticos, lo que significa que las líneas de campo magnético son cerradas, esto es, el número neto de líneas de campo que entran en una superficie es igual al número de líneas de campo que salen de la misma superficie. Un claro ejemplo de esta propiedad viene representado por las líneas de campo de un imán, donde se puede ver que el mismo número de líneas de campo que salen del polo norte vuelve a entrar por el polo sur, desde donde vuelven por el interior del imán hasta el norte.

Como se puede ver en el dibujo, independientemente de que la carga en movimiento sea positiva o negativa, en el punto A nunca aparece campo magnético; sin embargo, en los puntos B y C el campo magnético invierte su dirección dependiendo de si la carga es positiva o negativa. La dirección del campo magnético viene dado por la regla de la mano derecha.

Para determinar la dirección, se toma un vector ${displaystyle q{vec {v}}}$, en la misma dirección de la trayectoria de la carga en movimiento. La dirección de este vector depende del signo de la carga, esto es, si la carga es positiva y se mueve hacia la derecha, el vector ${displaystyle +q{vec {v}}}$ estará orientado hacia la derecha. No obstante, si la carga es negativa y se mueve hacia la derecha, el vector ${displaystyle -q{vec {v}}}$ va hacia la izquierda. A continuación, se recorre señalando con los cuatro dedos de la mano derecha, desde el primer vector ${displaystyle q{vec {v}}}$ hasta el segundo vector ${displaystyle U{vec {r}}}$, por el camino más corto o, lo que es lo mismo, el camino que forme el ángulo menor entre los dos vectores. El pulgar extendido indicará en ese punto la dirección del campo magnético.

La energía es necesaria para generar un campo magnético, para trabajar contra el campo eléctrico que un campo magnético crea y para cambiar la magnetización de cualquier material dentro del campo magnético. Para los materiales no-dispersivos, se libera esta misma energía tanto cuando se destruye el campo magnético para poder modelar esta energía, como siendo almacenado en el campo magnético.

Para materiales lineales y no dispersivos (tales que ${displaystyle scriptstyle B=mu H}$ donde μ es independiente de la frecuencia), la densidad de energía es:

${displaystyle {mathcal {E}}_{M}={frac {B^{2}}{2mu }}={frac {mu H^{2}}{2}}}$

Si no hay materiales magnéticos alrededor, entonces el μ se puede substituir por μ₀. La ecuación antedicha no se puede utilizar para los materiales no lineales, se utiliza una expresión más general dada abajo.

Generalmente la cantidad incremental de trabajo por el δW del volumen de unidad necesitado para causar un cambio pequeño del δB del campo magnético es: δW= H*δB

Una vez que la relación entre H y B se obtenga, esta ecuación se utiliza para determinar el trabajo necesitado para alcanzar un estado magnético dado. Para los materiales como los ferromagnéticos y superconductores el trabajo necesitado también dependerá de cómo se crea el campo magnético.

El campo magnético para cargas que se mueven a velocidades pequeñas comparadas con velocidad de la luz, puede representarse por un campo vectorial. Sea una carga eléctrica de prueba ${displaystyle q_{0}}$ en un punto P de una región del espacio moviéndose a una cierta velocidad arbitraria v respecto a un cierto observador que no detecte campo eléctrico. Si el observador detecta una deflexión de la trayectoria de la partícula entonces en esa región existe un campo magnético. El valor o intensidad de dicho campo magnético puede medirse mediante el llamado vector de inducción magnética B, a veces llamado simplemente "campo magnético", que estará relacionado con la fuerza F y la velocidad v medida por dicho observador en el punto P: Si se varía la dirección de v por P, sin cambiar su magnitud, se encuentra, en general, que la magnitud de F varía, si bien se conserva perpendicular a v. A partir de la observación de una pequeña carga eléctrica de prueba puede determinarse la dirección y módulo de dicho vector del siguiente modo:

${displaystyle B={frac {F_{perp }}{q_{0}v}}}$

En consecuencia: Si una carga de prueba positiva ${displaystyle q_{0}}$ se dispara con una velocidad v por un punto P y si obra una fuerza lateral F sobre la carga que se mueve, hay una inducción magnética B en el punto P siendo B el vector que satisface la relación:

${displaystyle mathbf {F} =q_{0}mathbf {v} imes mathbf {B} }$

La magnitud de F, de acuerdo a las reglas del producto vectorial, está dada por la expresión:

${displaystyle ,!F=q_{0}vBsin( heta )}$

Expresión en la que ${displaystyle heta ;}$ es el ángulo entre v y B.

El hecho de que la fuerza magnética sea siempre perpendicular a la dirección del movimiento implica que el trabajo realizado por la misma sobre la carga, es cero. En efecto, para un elemento de longitud ${displaystyle ,!dl}$ de la trayectoria de la partícula, el trabajo ${displaystyle ,!dW}$ es ${displaystyle ,!{vec {F}}_{B}cdot dl}$ que vale cero por ser ${displaystyle ,!F}$ y ${displaystyle ,!dl}$ perpendiculares. Así pues, un campo magnético estático no puede cambiar la energía cinética de una carga en movimiento.

Si una partícula cargada se mueve a través de una región en la que coexisten un campo eléctrico y uno magnético la fuerza resultante está dada por:

${displaystyle ,!{vec {F}}=q_{0}{vec {E}}+q_{0}{vec {v}} imes {vec {B}}}$

Esta fórmula es conocida como Relación de Lorentz

La teoría de la relatividad especial probó que de la misma manera que espacio y tiempo no son conceptos absolutos, la parte eléctrica y magnética de un campo electromagnético dependen del observador. Eso significa que dados dos observadores ${displaystyle scriptstyle {mathcal {O}}}$ y ${displaystyle scriptstyle {ar {mathcal {O}}}}$ en movimiento relativo uno respecto a otro el campo magnético y eléctrico medido por cada uno de ellos no será el mismo. En el contexto de la relatividad especial si los dos observadores se mueven uno respecto a otro con velocidad uniforme v dirigida según el eje X, las componentes de los campos eléctricos medidas por uno y otro observador vendrán relacionadas por:

${displaystyle {ar {E}}_{x}=E_{x},quad {ar {E}}_{y}={frac {E_{y}-vB_{z}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},quad {ar {E}}_{z}={frac {E_{z}+vB_{y}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Y para los campos magnéticos se tendrá:

${displaystyle {ar {B}}_{x}=B_{x},quad {ar {B}}_{y}={frac {B_{y}+vE_{z}/c^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},quad {ar {B}}_{z}={frac {B_{z}-vE_{y}/c^{2}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Nótese que en particular un observador en reposo respecto a una carga eléctrica detectará solo campo eléctrico, mientras que los observadores que se mueven respecto a las cargas detectarán una parte eléctrica y magnética.

El campo magnético creado por una carga en movimiento puede probarse por la relación general:

${displaystyle mathbf {B} =mathbf {v} imes mathbf {E} /c^{2}}$

que es válida tanto en mecánica newtoniana como en mecánica relativista. Esto lleva a que una carga puntual moviéndose a una velocidad v proporciona un campo magnético dado por:

${displaystyle mathbf {B} ={frac {mu _{0}q}{4pi r^{2}}}{frac {1-v^{2}/c^{2}}{[1-(v^{2}/c^{2})sin ^{2} heta ]^{3/2}}}mathbf {v} imes mathbf {u} _{r}}$

donde el ángulo ${displaystyle heta }$ es el ángulo formado por los vectores ${displaystyle mathbf {v} }$ y ${displaystyle mathbf {u} _{r}}$. Si el campo magnético es creado por una partícula cargada que tiene aceleración la expresión anterior contiene términos adicionales (ver potenciales de Liénard-Wiechert).

La unidad de B en el SI es el tesla, que equivale a wéber por metro cuadrado (Wb/m²) o a voltio segundo por metro cuadrado (V s/m²); en unidades básicas es kg s⁻² A⁻¹. Su unidad en sistema de Gauss es el gauss (G); en unidades básicas es cm^−1/2 g^1/2 s⁻¹.

La unidad de H en el SI es el amperio por metro, A/m (a veces llamado amperivuelta por metro, Av/m). Su unidad en el sistema de Gauss es el oérsted (Oe), que es dimensionalmente igual al Gauss.

La magnitud del campo magnético terrestre en la superficie de la Tierra es de alrededor de 0.5G. Los imanes permanentes comunes, de hierro, generan campos de unos pocos cientos de Gauss, esto es a corto alcance la influencia sobre una brújula es alrededor de mil veces más intensa que la del campo magnético terrestre; como la intensidad se reduce con el cubo de la distancia, a distancias relativamente cortas el campo terrestre vuelve a dominar. Los imanes comerciales más potentes, basados en combinaciones de metales de transición y tierras raras generan campos hasta diez veces más intensos, de hasta 3000-4000 G, esto es, 0.3-0.4 T. El límite teórico para imanes permanentes es alrededor de diez veces más alto, unos 3 Tesla. Los centros de investigación especializados obtienen de forma rutinaria campos hasta diez veces más intensos, unos 30T, mediante electroimanes; se puede doblar este límite mediante campos pulsados, que permiten enfriarse al conductor entre pulsos. En circunstancias extraordinarias, es posible obtener campos incluso de 150 T o superiores, mediante explosiones que comprimen las líneas de campo; naturalmente en estos casos el campo dura solo unos microsegundos. Por otro lado, los campos generados de forma natural en la superficie de un púlsar se estiman en el orden de los cientos de millones de Tesla.^[4]​

En el mundo microscópico, atendiendo a los valores del momento dipolar de iones magnéticos típicos y a la ecuación que rige la propagación del campo generado por un dipolo magnético, se verifica que a un nanómetro de distancia, el campo magnético generado por un electrón aislado es del orden de 3 G, el de una molécula imán típica, del orden de 30 G y el de un ion magnético típico puede tener un valor intermedio, de 5 a 15 G. A un angstrom, que es un valor corriente para un radio atómico y por tanto el valor mínimo para el que puede tener sentido referirse al momento magnético de un ion, los valores son mil veces más elevados, esto es, del orden de magnitud del Tesla.

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