Norma del supremo

En análisis matemático, la norma del supremo (o también conocida como la norma uniforme) asigna a funciones acotadas de valores complejos ${displaystyle f:S ightarrow mathbb {C} }$ número no negativo

${displaystyle |f|_{infty }:=|f|_{infty ,S}:=sup left{,left|f(x) ight|,,,xin S, ight}}$

(de una forma análoga podemos definir la norma del supremo para funciones a valores reales ${displaystyle f:S ightarrow mathbb {R} }$ ).

Esta norma es también llamada como la norma de Chebyshev, la norma infinito, la norma sup, o también, cuando el supremo es de hecho un máximo, en tal caso pasa a llamarse la norma del máximo. Uno de sus tantos nombres, la "norma uniforme" proviene del hecho de que la sucesión ${displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}$ converge a ${displaystyle f}$ bajo la norma uniforme si y solo si ${displaystyle f_{n}}$ converge a ${displaystyle f}$ uniformemente.^[1]​

El matemático Pafnuty Chebyshev fue el primero en estudiar esta norma de manera sistemática (de ahí el nombre de "norma de Chebyshev").

Sea ${displaystyle S}$ un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de las funciones acotadas en ${displaystyle S}$, es decir

${displaystyle C(S):=left{f:S ightarrow mathbb {C} ,,,{ ext{ existe }}Mgeq 0{ ext{ tal que }}|f(x)|leq M,,forall xin S ight}}$,

en otras ocasiones este conjunto suele escribirse como ${displaystyle C_{b}(S)}$ (la letra ${displaystyle b}$ viene por la palabra bounded en inglés que significa acotada), o también en otros casos ${displaystyle ell ^{infty }(S)}$ o también ${displaystyle ell _{b}^{infty }(S)}$ (se usa este término en casos que la topología de ${displaystyle S}$ tenga una forma específica). No es difícil ver que mediante las operaciones puntuales el conjunto ${displaystyle C(S)}$ se transforma en un espacio vectorial.

Si definimos la función ${displaystyle Vert cdot Vert _{infty }:C(S) ightarrow [0,+infty )}$ de la forma

${displaystyle |f|_{infty }:=|f|_{infty ,S}:=sup left{,left|f(x) ight|,,,xin S, ight}}$

tenemos que el par ${displaystyle left(C(S),Vert cdot Vert _{infty } ight)}$ se transforma en un espacio vectorial normado, es decir, ${displaystyle Vert cdot Vert _{infty }}$ es una norma. Finalmente a esta función la llamamos como la norma del supremo.

Observe que si la condición de ser acotada es retirada, entonces puede existir ${displaystyle varphi in C(S)}$ tal que ${displaystyle Vert varphi Vert _{infty }=+infty }$ . Por lo tanto en este caso la función ${displaystyle Vert cdot Vert _{infty }}$ deja de ser una norma, sin embargo es posible definir una topología de todas formas en el espacio ${displaystyle C(S)}$ y

${displaystyle Vert cdot Vert _{infty }}$ pasa a ser una métrica extendida.

No es difícil encontrar ejemplos en que ${displaystyle Vert varphi Vert _{infty }=+infty }$. Si consideramos ${displaystyle S:=(0,1)}$ entonces definiendo la función ${displaystyle varphi :S ightarrow mathbb {C} }$ dada por

${displaystyle varphi (x):={frac {1}{x}}}$, para todo ${displaystyle xin S=(0,1)}$

satisface lo que necesitamos.

Si consideramos al conjunto ${displaystyle S}$ como un conjunto finito, por ejemplo si ${displaystyle S:={1,2,dots ,n}}$ , entonces no es difícil notar que ${displaystyle C(S)=mathbb {C} ^{n}}$ (de una manera análoga podemos construir ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$) y en este caso podemos notar que la norma del supremo toma la forma de la famosa norma del máximo en ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ (o análogamente en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$), esto es

${displaystyle |x|_{infty }:=max left(left|x_{1} ight|,ldots ,left|x_{n} ight| ight)=Vert xVert _{ ext{max}}}$.

Sea ${displaystyle lambda }$ la medida de Lebesgue en ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, entonces definimos la norma p (o también conocida como la p-norma)

${displaystyle |f|_{p}:=left(int _{mathbb {R} ^{n}}left|f ight|^{p},dlambda ight)^{1/p}}$,

para toda función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n} ightarrow mathbb {C} ^{n}}$ tal que ${displaystyle f}$ sea ${displaystyle lambda }$-medible (observe que este valor puede ser infinito).

Finalmente, si ${displaystyle f:S ightarrow mathbb {C} }$ es acotada y existe ${displaystyle q}$ tal que ${displaystyle Vert fVert _{q}}$ sea finito entonces se tiene que

Este resultado es generalizable para funciones de tipo ${displaystyle f:D ightarrow mathbb {C} ^{n}}$ donde ${displaystyle D}$ es un espacio de medida de medida ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle f}$ es una función ${displaystyle mu }$-medible.

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