Prueba t de Student

En estadística, una prueba t de Student, prueba t de estudiante, o Test-T es cualquier prueba en la que el estadístico utilizado tiene una distribución t de Student si la hipótesis nula es cierta. Se aplica cuando la población estudiada sigue una distribución normal, pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para que el estadístico en el que está basada la inferencia esté normalmente distribuido, utilizándose una estimación de la desviación típica en lugar del valor real. Es utilizado en análisis discriminante.

El estadístico t fue introducido por William Sealy Gosset en 1908, un químico que trabajaba para la cervecería Guinness de Dublín. Student era su seudónimo de escritor.^[1]​^[2]​^[3]​ Gosset había sido contratado gracias a la política de Claude Guinness de reclutar a los mejores graduados de Oxford y Cambridge, y con el objetivo de aplicar los nuevos avances en bioquímica y estadística al proceso industrial de Guinness.^[2]​ Gosset desarrolló el test t como una forma sencilla de monitorizar la calidad de la famosa cerveza stout. Publicó su test en la revista inglesa Biometrika en el año 1908, pero fue forzado a utilizar un seudónimo por su empleador, para mantener en secreto los procesos industriales que se estaban utilizando en la producción. Aunque de hecho, la identidad de Gosset era conocida por varios de sus compañeros estadísticos.^[4]​

Entre los usos más frecuentes de las pruebas t se encuentran:

La mayor parte de las pruebas estadísticas t tienen la forma ${displaystyle T={frac {Z}{s}}}$, donde Z y s son funciones de los datos estudiados. Típicamente, Z se diseña de forma tal que resulte sensible a la hipótesis alternativa (p.ej. que su magnitud tienda a ser mayor cuando la hipótesis alternativa es verdadera), mientras que s es un parámetro de escala que permite que la distribución de T pueda ser determinada.

Por ejemplo, en una prueba t de muestra única, ${displaystyle Z={frac {ar {X}}{frac {sigma }{sqrt {n}}}}}$, donde ${displaystyle {ar {X}}}$ es la media muestral de los datos, n es el tamaño muestral, y σ es la desviación estándar de la población de datos; s en una prueba de muestra única es ${displaystyle {hat {sigma }}/sigma }$, donde ${displaystyle {hat {sigma }}}$ es la desviación estándar muestral.

Las suposiciones subyacentes en una prueba t son:

En una prueba t específica, estas condiciones son consecuencias de la población que está siendo estudiada, y de la forma en que los datos han sido muestreados. Por ejemplo, en la prueba t de comparación de medias de dos muestras independientes, deberíamos realizar las siguientes suposiciones:

Las pruebas-t de dos muestras para probar la diferencia en las medias pueden ser desapareadas o en parejas. Las pruebas t pareadas son una forma de bloqueo estadístico, y poseen un mayor poder estadístico que las pruebas no apareadas cuando las unidades apareadas son similares con respecto a los "factores de ruido" que son independientes de la pertenencia a los dos grupos que se comparan.^{[cita requerida]} En un contexto diferente, las pruebas-t apareadas pueden utilizarse para reducir los efectos de los factores de confusión en un estudio observacional.

Las pruebas t desapareadas o de muestras independientes, se utilizan cuando se obtienen dos grupos de muestras aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas a partir de las dos poblaciones a ser comparadas. Por ejemplo, supóngase que estamos evaluando el efecto de un tratamiento médico, y reclutamos a 100 sujetos para el estudio. Luego elegimos aleatoriamente 50 sujetos para el grupo en tratamiento y 50 sujetos para el grupo de control. En este caso, obtenemos dos muestras independientes y podríamos utilizar la forma desapareada de la prueba t. La elección aleatoria no es esencial en este caso, si contactamos a 100 personas por teléfono y obtenemos la edad y género de cada una, y luego se utiliza una prueba t bimuestral para ver en que forma la media de edades difiere por género, esto también sería una prueba t de muestras independientes, a pesar de que los datos son observacionales.

Las pruebas t de muestras dependientes o apareadas, consisten típicamente en una muestra de pares de valores con similares unidades estadísticas, o un grupo de unidades que han sido evaluadas en dos ocasiones diferentes (una prueba t de mediciones repetitivas). Un ejemplo típico de prueba t para mediciones repetitivas sería por ejemplo que los sujetos sean evaluados antes y después de un tratamiento.

Una prueba 't basada en la coincidencia de pares muestrales se obtiene de una muestra desapareada que luego es utilizada para formar una muestra apareada, utilizando para ello variables adicionales que fueron medidas conjuntamente con la variable de interés.^[8]​

La valoración de la coincidencia se lleva a cabo mediante la identificación de pares de valores que consisten en una observación de cada una de las dos muestras, donde las observaciones del par son similares en términos de otras variables medidas. Este enfoque se utiliza a menudo en los estudios observacionales para reducir o eliminar los efectos de los factores de confusión.

Las expresiones explícitas que pueden ser utilizadas para obtener varias pruebas t se dan a continuación. En cada caso, se muestra la fórmula para una prueba estadística que o bien siga exactamente o aproxime a una distribución t de Student bajo la hipótesis nula. Además, se dan los apropiados grados de libertad en cada caso. Cada una de estas estadísticas se pueden utilizar para llevar a cabo ya sea un prueba de una cola o prueba de dos colas.

Una vez que se ha determinado un valor t, es posible encontrar un valor p asociado utilizando para ello una tabla de valores de distribución t de Student. Si el valor p calculado es menor al límite elegido por significancia estadística (usualmente a niveles de significancia 0,10; 0,05 o 0,01), entonces la hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa.

En esta prueba se evalúa la hipótesis nula de que la media de la población estudiada es igual a un valor especificado μ₀, se hace uso del estadístico:

donde ${displaystyle {overline {x}}}$ es la media muestral, s es la desviación estándar muestral y n es el tamaño de la muestra. Los grados de libertad utilizados en esta prueba se corresponden al valor n − 1.

Supóngase que se está ajustando el modelo:

donde x_i, i = 1, ..., n son conocidos, α y β son desconocidos, y ε_i es el error aleatorio en los residuales que se encuentra normalmente distribuido, con un valor esperado 0 y una varianza desconocida σ², e Y_i, i = 1, ..., n son las observaciones.

Se desea probar la hipótesis nula de que la pendiente β es igual a algún valor especificado β₀ (a menudo toma el valor 0, en cuyo caso la hipótesis es que x e y no están relacionados).

sea

${displaystyle {egin{aligned}{widehat {alpha }},{widehat {eta }}&={ ext{estimadores de cuadrados mínimos}},\SE_{widehat {alpha }},SE_{widehat {eta }}&={ ext{error estándar de los estimadores de cuadrados mínimos}}.end{aligned}}}$

Luego

tiene una distribución t con n − 2 grados de libertad si la hipótesis nula es verdadera. El error estándar de la pendiente:

puede ser reescrito en términos de los residuales:

Luego ${displaystyle t_{ ext{valor}}}$ se encuentra dado por:

Esta prueba se utiliza solo si

Las violaciones a estos presupuestos se discuten más abajo.

El estadístico t a probar si las medias son diferentes se puede calcular como sigue:

Donde

es la desviación estándar combinada, 1 = grupo uno, 2 = grupo 2. El denominador de t es el error estándar de la diferencia entre las dos medias.

Por prueba de significancia, los grados de libertad de esta prueba se obtienen como 2n − 2 donde n es el número de participantes en cada grupo.

Esta prueba se puede utilizar únicamente si se puede asumir que las dos distribuciones poseen la misma varianza. (Cuando este presupuesto se viola, mirar más abajo). El estadístico t si las medias son diferentes puede ser calculado como sigue:

Donde

Nótese que las fórmulas de arriba, son generalizaciones del caso que se da cuando ambas muestras poseen igual tamaño (sustituyendo n por n₁ y n₂).

${displaystyle S_{X_{1}X_{2}}}$ es un estimador de la desviación estándar común de ambas muestras: esto se define así para que su cuadrado sea un estimador sin sesgo de la varianza común sea o no la media iguales. En esta fórmula, n = número de participantes, 1 = grupo uno, 2 = grupo dos. n − 1 es el número de grados de libertad para cada grupo, y el tamaño muestral total menos dos (esto es, n₁ + n₂ − 2) es el número de grados de libertad utilizados para la prueba de significancia.

Esta prueba es también conocida como prueba t de Welch y es utilizada únicamente cuando se puede asumir que las dos varianzas poblacionales son diferentes (los tamaños muestrales pueden o no ser iguales) y por lo tanto deben ser estimadas por separado. El estadístico t a probar cuando las medias poblacionales son distintas puede ser calculado como sigue:

donde

Aquí s² es el estimador sin sesgo de la varianza de las dos muestras, n = número de participantes, 1 = grupo uno, 2 = grupo dos. Nótese que en este caso, ${displaystyle {s_{{overline {X}}_{1}-{overline {X}}_{2}}}^{2}}$ no es la varianza combinada. Para su utilización en pruebas de significancia, la distribución de este estadístico es aproximadamente igual a una distribución t ordinaria con los grados de libertad calculados según:

Esta ecuación es llamada la ecuación Welch–Satterthwaite. Nótese que la verdadera distribución de este estadístico de hecho depende (ligeramente) de dos varianzas desconocidas.

Esta prueba se utiliza cuando las muestras son dependientes; esto es, cuando se trata de una única muestra que ha sido evaluada dos veces (muestras repetidas) o cuando las dos muestras han sido emparejadas o apareadas. Este es un ejemplo de un test de diferencia apareada.

Para esta ecuación, la diferencia D entre todos los pares tiene que ser calculada. Los pares se han formado ya sea con resultados de una persona antes y después de la evaluación o entre pares de personas emparejadas en grupos de significancia (por ejemplo, tomados de la misma familia o grupo de edad: véase la tabla). La media (X_D) y la desviación estándar (s_D) de tales diferencias se han utilizado en la ecuación. La constante μ₀ es diferente de cero si se desea probar si la media de las diferencias es significativamente diferente de μ₀. Los grados de libertad utilizados son n − 1.

Sea A₁ denotando un grupo obtenido tomando 6 muestras aleatorias a partir de un grupo mayor:

y sea A₂ denotando un segundo grupo obtenido de manera similar:

Estos podrían ser, por ejemplo, los pesos de tornillos elegidos de un montón.

Vamos a llevar a cabo la prueba de hipótesis contando como hipótesis nula de que la media de las poblaciones de las cuales hemos tomado las muestras son iguales.

La diferencia entre las dos medias de muestras, cada uno denotado por ${displaystyle {overline {X}}_{i}}$, la cual aparece en el numerador en todos los enfoques de dos muestras discutidas anteriormente, es

La desviaciones estándar muestrales para las dos muestras son aproximadamente 0,05 y 0,11 respectivamente. Para muestras tan pequeñas, una prueba de igualdad entre las varianzas de las dos poblaciones no es muy poderoso. Pero ya que los tamaños muestrales son iguales, las dos formas de las dos pruebas t se pueden desarrollar en forma similar en este ejemplo.

Si se decide continuar con el enfoque para varianzas desiguales (discutido anteriormente), los resultados son

y

El resultado de la prueba estadística es aproximadamente 1,959. El valor p para la prueba de dos colas da un valor aproximado de 0,091 y el valor p para la prueba de una cola es aproximadamente 0,045.

Si se sigue el enfoque para varianzas iguales (discutido anteriormente), los resultados son

y

Ya que el tamaño de las muestras es igual (ambas tienen 6 elementos), el resultado de la prueba estadística es nuevamente un valor que se aproxima a 1,959. Debido a que los grados de libertad son diferentes de la prueba para varianzas desiguales, los valores p difieren ligeramente de los obtenidos un poco más arriba. Aquí el valor p para la prueba de dos colas es aproximadamente 0,078, y el valor p para una cola es aproximadamente 0,039. Así, si hubiera una buena razón para creer que las varianzas poblacionales son iguales, los resultados serían algo más sugerentes de una diferencia en los pesos medios de las dos poblaciones de tornillos.

La prueba t provee un mecanismo exacto para evaluar la igualdad entre las medias de dos poblaciones que tengan varianzas iguales, aunque el valor exacto de las mismas sea desconocido. El test de Welch es una prueba aproximadamente exacta para el caso en que los datos poseen una distribución normal, pero las varianzas son diferentes. Para muestras moderadamente grandes y pruebas de una cola, el estadístico t es moderadamente robusto a las violaciones de la asunción de normalidad.^[9]​

Para ser exactos tanto las pruebas t como las z requiere que las medias de las muestras sigan una distribución normal, y la prueba t adicionalmente requiere que la varianza de las muestras siga una distribución Chi-cuadrado (χ²), y que la media muestral y la varianza muestral sean estadísticamente independientes. La normalidad de los valores individuales de los datos no es un requisito para que estas condiciones se cumplan. Por el teorema del límite central, las medias muestrales de muestras moderadamente grandes también aproximan una distribución normal, incluso si los datos individuales no están normalmente distribuidos. Para datos no normales, la distribución de la varianza muestral puede desviarse sustancialmente de una distribución χ². Sin embargo, si el tamaño muestral es grande, el teorema de Slutsky indica que la distribución de las varianzas muestrales ejerce un efecto muy pequeño en la distribución de la prueba estadística. Si los datos son substancialmente no normales, y el tamaño muestral es pequeño, la prueba t puede entregar resultados equivocados.

Cuando la asunción de normalidad no se sostiene, una alternativa no paramétrica a la prueba t puede ofrecer un mejor poder estadístico. Por ejemplo, para dos muestras independientes cuando la distribución de datos es asimétrica (esto es, que la distribución está sesgada) o la distribución tiene colas muy grandes, entonces el test de suma de posiciones (ranks) de Wilcoxon (conocido también como prueba U de Mann-Whitney) puede tener de tres a cuatro veces mayor poder estadístico que una prueba t.^[9]​^[10]​^[11]​

La contraparte no paramétrica a la prueba t de muestras apareadas es la prueba Wilcoxon de suma de posiciones con signo para muestras pareadas. Para una discusión sobre cuando hacer una elección entre las alternativas t y no paramétricos, consulte a Sawilowsky.^[12]​

El análisis de varianza "one-way" generaliza la prueba t de dos muestras para casos donde los datos pertenecen a más que dos grupos.

Una generalización del estadístico t de Student llamada estadístico t cuadrado de Hotelling, permite la comprobación de hipótesis en múltiples (y a menudo correlacionadas) mediciones de la misma muestra. Por ejemplo, un investigador puede presentar un número de sujetos a un test de múltiples escalas de personalidad (p. ej., el de cinco grandes rasgos de personalidad). Debido a que las medidas de este tipo suelen estar muy correlacionadas, no es aconsejable llevar a cabo varias pruebas univariadas, ya que esto supondría descuidar la covarianza entre las medidas e inflar la probabilidad de rechazar falsamente al menos una hipótesis (error de tipo I). En este caso una única prueba múltiple es preferible para llevar a cabo las pruebas de hipótesis. El estadístico t de Hosteling sigue una distribución T ², sin embargo, en la práctica, esta distribución se utiliza muy raramente, y en cambio se suele convertir en una distribución de tipo F.

Para una prueba multivariable de única muestra, la hipótesis es que el vector medio (${displaystyle {mathbf {mu } }}$) es igual a un vector (${displaystyle {mathbf {mu } _{0}}}$) dado. La prueba estadística se define como:

Donde n es el tamaño muestral, ${displaystyle {overline {mathbf {x} }}}$ es el vector de columnas medio y ${displaystyle {mathbf {S} }}$ una matriz de covarianza muestral ${displaystyle m imes m}$.

Para un test multivariable de dos muestras, la hipótesis es que los vectores medios (${displaystyle {mathbf {mu } }_{1}}$, ${displaystyle {mathbf {mu } }_{2}}$) de las dos muestras son iguales. La prueba estadística se define como:

La mayoría de los programas tipo hoja de cálculo y paquetes estadísticos de lenguajes de programación, tales como QtiPlot, OpenOffice.org Calc, LibreOffice Calc, LISREL, Microsoft Excel, SAS, SPSS, Stata, DAP, gretl, R, Python ([1]), PSPP, Infostat y Minitab, y PRISMA6 incluyen implementaciones del test t de Student.

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