Distribución t de Student

${displaystyle {egin{matrix}{frac { u +1}{2}}left[psi ({frac {1+ u }{2}})-psi ({frac { u }{2}}) ight]\[0.5em]+log {left[{sqrt { u }}B({frac { u }{2}},{frac {1}{2}}) ight]}end{matrix}}}$

En probabilidad y estadística, la distribución ${displaystyle t}$ (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.

Fue desarrollada por William Sealy Gosset bajo el pseudónimo “Student”.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución de Student fue descrita en el año 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el pseudónimo de “Student”.^[1]​

Sea ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ variables aleatorias independientes distribuidas ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2})}$, esto es, ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ es una muestra aleatoria de tamaño ${displaystyle n}$ proveniente de una población con distribución normal con media ${displaystyle mu }$ y varianza ${displaystyle sigma ^{2}}$.

Sean

la media muestral y

la varianza muestral entonces la variable aleatoria

sigue una distribución normal estándar (es decir, una distribución normal con media 0 y varianza 1) y la variable aleatoria

donde ${displaystyle S}$ ha sido sustituido por ${displaystyle sigma }$, tiene una distribución ${displaystyle t}$ de student con ${displaystyle n-1}$ grados de libertad.

Sean ${displaystyle X}$ una variable aleatoria continua y ${displaystyle v>0}$, si ${displaystyle X}$ tiene una distribución ${displaystyle t}$ con ${displaystyle v}$ grados de libertad entonces escribiremos ${displaystyle Xsim t_{v}}$ o ${displaystyle Xsim t(v)}$.

La distribución ${displaystyle t}$-student tiene como función de densidad

para ${displaystyle xin mathbb {R} }$, donde ${displaystyle v}$ denota los grados de libertad y ${displaystyle Gamma }$ es la función gamma.

La expresión anterior también suele escribirse como

donde ${displaystyle operatorname {B} }$ es la función beta.

En particular, para valores enteros de ${displaystyle v}$ se tiene que

para ${displaystyle v>1}$ par

para ${displaystyle v>1}$ impar

La función de distribución puede ser escrita en términos de ${displaystyle I}$, la función beta incompleta.

Para ${displaystyle x>0}$

donde

Una fórmula alternativa, válida para ${displaystyle x^{2}<v}$ es

donde ${displaystyle {}_{2}F_{1}}$ es un caso particular de la función hipergeométrica.

Ciertos valores de ${displaystyle v}$ dan una forma especial a la función de densidad y de distribución.

Si ${displaystyle X}$ es una variable aleatoria tal que ${displaystyle Xsim t_{v}}$ entonces ${displaystyle X}$ satisface algunas propiedades.

La media de ${displaystyle X}$ para valores ${displaystyle v>1}$ es

La varianza de ${displaystyle X}$ para valores ${displaystyle v>2}$ es

La curtosis de ${displaystyle X}$ para valores ${displaystyle v>4}$ es

La distribución ${displaystyle t}$ de Student con ${displaystyle v}$ grados de libertad puede definirse como la distribución de la variable aleatoria ${displaystyle T}$ definida por:

donde

Para una constante ${displaystyle mu }$ no nula, el cociente

es una variable aleatoria que sigue la distribución no central ${displaystyle t}$ de Student con parámetro de no-centralidad ${displaystyle mu }$.

Sean ${displaystyle X_{1},dots ,X_{n}}$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución ${displaystyle N(mu ,sigma ^{2})}$ donde ${displaystyle mu }$ y ${displaystyle sigma }$ son desconocidos.

Se tiene que

y

son independientes entonces el cociente

esto es

Sea ${displaystyle t_{n-1,1-alpha /2}in mathbb {R} }$ tal que

siendo ${displaystyle Ysim t_{n-1}}$ entonces

por lo tanto un intervalo de ${displaystyle (1-alpha )100\%}$ de confianza para ${displaystyle mu }$ cuando ${displaystyle sigma ^{2}}$ es desconocida es

${displaystyle left({overline {X}}-t_{n-1,1-alpha /2};{frac {S}{sqrt {n}}},{overline {X}}+t_{n-1,1-alpha /2};{frac {S}{sqrt {n}}} ight)}$

La distribución ${displaystyle t}$ de Student puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional ${displaystyle {widehat {mu }}}$ y un parámetro de escala ${displaystyle {widehat {sigma }}}$ mediante la relación

o

esto significa que ${ extstyle {frac {x-{widehat {mu }}}{widehat {sigma }}}}$ tiene la distribución clásica ${displaystyle t}$ de Student con ${displaystyle v}$ grados de libertad.

La resultante distribución ${displaystyle t}$ de Student no estandarizada tiene por función de densidad:^[2]​

donde ${displaystyle {widehat {sigma }}}$ no corresponde a la desviación estándar, esto es, no es la desviación estándar de la distribución escalada ${displaystyle t}$, simplemente es parámetro de escala de la distribución.

La distribución puede ser escrita en términos de ${displaystyle {widehat {sigma }}^{2}}$, el cuadrado del parámetro de escala:

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:^[2]​

Una parametrización alterna está en términos del parámetro inverso de escala ${displaystyle lambda }$ definido mediante la relación ${ extstyle lambda ={frac {1}{{widehat {sigma }}^{2}}}}$. La función de densidad está dada por:^[2]​

Otras propiedades de esta versión de la distribución son:^[2]​

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