Teorema de Hahn-Banach

En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier funcional lineal acotada definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.

El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.

Un funcional sublineal en un espacio vectorial ${displaystyle V}$ sobre un cuerpo ${displaystyle mathbb {K} }$ (que puede ser los números reales ${displaystyle mathbb {R} }$ o complejos ${displaystyle mathbb {C} }$) es una función ${displaystyle pcolon V ightarrow mathbb {R} }$ que verifica:

Ejemplos de funcionales sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.

Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si ${displaystyle pcolon V ightarrow mathbb {K} }$ es un funcional sublineal, y ${displaystyle fcolon S ightarrow mathbb {K} }$ es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial ${displaystyle S}$ de ${displaystyle V}$ que está acotado por ${displaystyle p}$ sobre ${displaystyle S}$ i.e..

entonces existe una extensión lineal ${displaystyle {hat {f}}:V ightarrow mathbb {K} }$ de f a todo el espacio ${displaystyle V}$ i.e. existe un funcional lineal ${displaystyle {hat {f}}}$ tal que

y

La extensión ${displaystyle {hat {f}}}$ no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar ${displaystyle {hat {f}}}$.

El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":

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