Teorema de los residuos

El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Sea ${displaystyle fcolon Dsubset mathbb {C} o mathbb {C} }$ una función analítica en un dominio simplemente conexo ${displaystyle D}$, excepto en un número finito de puntos ${displaystyle z_{k}}$ que constituyen singularidades aisladas de ${displaystyle f}$. Sea ${displaystyle C}$ una curva en ${displaystyle D}$, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de ${displaystyle f}$. Entonces se tiene:

${displaystyle oint _{C}f(z)dz=2pi isum _{k}operatorname {Res} (f,z_{k})}$

donde ${displaystyle operatorname {Res} (f,z_{k})}$ es el Residuo de la función ${displaystyle f}$ en el punto singular ${displaystyle z_{k}}$.

Sea ${displaystyle f}$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial ${displaystyle f(z),dz}$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral ${displaystyle int _{C}f(z),dz}$ es igual a ${displaystyle int _{C'}f(z),dz}$ siempre que ${displaystyle C'}$ sea una curva homotópica con ${displaystyle C}$.

En específico, se puede considerar una curva tipo ${displaystyle C'}$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos ${displaystyle a_{j}}$ sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva ${displaystyle C'}$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de ${displaystyle f}$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea ${displaystyle z=a_{j}+ ho e^{i heta }}$ parametrización de la curva alrededor del punto ${displaystyle a_{j}}$, entonces se tiene ${displaystyle dz= ho ie^{i heta },d heta }$, por lo tanto:

${displaystyle int _{C}f(z),dz=int _{C'}f(z),dz=sum _{j}eta (C,a_{j})int _{partial B_{ ho }(a_{j})}f(z),dz=sum _{j}eta (C,a_{j})int _{0}^{2pi }f(a_{j}+ ho e^{i heta }) ho ie^{i heta },d heta }$

donde ${displaystyle ho >0}$, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas ${displaystyle B_{ ho }(a_{j})}$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio ${displaystyle U}$. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda ${displaystyle j}$:

${displaystyle iint _{0}^{2pi }f(a_{j}+ ho e^{i heta }) ho e^{i heta },d heta =2pi imathrm {Res} (f,a_{j}).}$

Sea ${displaystyle j}$ fija y aplíquese la serie de Laurent para ${displaystyle f}$ en ${displaystyle a_{j}:}$

${displaystyle f(z)=sum _{kin mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}}$

de tal forma que ${displaystyle { m {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}}$, donde c_-1, es el coeficiente de ${displaystyle {1 over (z-a_{j})}}$ en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

${displaystyle int _{0}^{2pi }f(a_{j}+ ho e^{i heta }) ho e^{i heta },d heta =sum _{k}int _{0}^{2pi }c_{k}( ho e^{i heta })^{k} ho e^{i heta },d heta = ho ^{k+1}sum _{k}c_{k}int _{0}^{2pi }e^{i(k+1) heta },d heta .}$

Obsérvese que si ${displaystyle k=-1}$, se tiene:

${displaystyle ho ^{k+1}c_{k}int _{0}^{2pi }e^{i(k+1) heta },d heta =c_{-1}int _{0}^{2pi }d heta =2pi c_{-1}=2pi ,mathrm {Res} (f,a_{j})}$

mientras que para ${displaystyle k eq -1}$ se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

${displaystyle int _{0}^{2pi }e^{i(k+1) heta },d heta =left[{frac {e^{i(k+1) heta }}{i(k+1)}} ight]_{0}^{2pi }=0.}$

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