Área (Geometría)

El área es un concepto métrico que puede permitir asignar una medida a la extensión de una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie.^[1]​ El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud.

El área es una magnitud métrica de tipo escalar definida como la extensión en dos dimensiones de una recta al plano del espacio.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone.^[2]​ Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,^[3]​ cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.^[4]​

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método exhaustivo consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,^[5]​ así como el cálculo aproximado del número π.

En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la lúnula,^[6]​ pero no identificó la constante de proporcionalidad. Eudoxo de Cnido, también en el siglo V a. C., también encontró que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado.^[7]​

Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Sobre la medida del círculo. (La circunferencia es 2π^r, y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área πr² del disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).^[5]​

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π, la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros.^[8]​ En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π² es irracional; esto también prueba que π es irracional.^[9]​ En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.^[8]​^{:p. 196}

Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Metrica, escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes,^[10]​ y dado que Metrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.^[11]​

En 499 Aryabhata, un matemático-astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias, expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por Qin Jiushao.

Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través de axiomas. El «área» se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades:^[12]​

Se puede probar que tal función de área existe realmente.^[13]​

El perímetro es, junto con el área, una de las dos medidas principales de las figuras geométricas planas. A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones^[14]​ o creer que cuanto mayor es una, más también es la otra. De hecho, la ampliación (o reducción) de una figura geométrica aumenta (o disminuye) simultáneamente su área y su perímetro. Por ejemplo, si un pedazo de tierra se muestra en un mapa a una escala de 1:10 000, el perímetro real de la tierra se puede calcular multiplicando el perímetro de la representación por 10 000 y el área multiplicando el de la representación por 10 000². Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura. Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5 m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000 m). Proclo (siglo V) informa que los campesinos griegos compartían «equitativamente» campos de acuerdo con sus perímetros, pero con áreas diferentes.^[15]​^[16]​ Sin embargo, la producción de un campo es proporcional al área, no al perímetro.

${displaystyle A={ frac {bcdot h}{2}}}$

${displaystyle A={frac {bcdot h}{2}}}$

${displaystyle A={frac {{overline {AC}}cdot {overline {BD}}cdot sin heta }{2}}}$

${displaystyle A={frac {acdot dcdot sin alpha +bcdot ccdot sin gamma }{2}}}$

${displaystyle A={acdot b,}}$

${displaystyle A={frac {{overline {AC}}cdot {overline {BD}}}{2}}}$

${displaystyle A=acdot a,=a^{2}}$

${displaystyle A=bcdot h,}$

${displaystyle A={frac {a+b}{2}}cdot h}$

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:^[18]​

${displaystyle A=pi r^{2},}$

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:^[19]​

${displaystyle A={ pi ab}}$

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

${displaystyle { ext{Area}}(a,b)=int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: ${displaystyle f(x),}$ y ${displaystyle g(x)[<f(x)],}$ en el intervalo ${displaystyle [a,b],}$.

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función ${displaystyle f(x)=4-x^{2}}$ en el intervalo ${displaystyle [-2;2]}$, se utiliza la ecuación anterior, en este caso: ${displaystyle g(x)=0}$ entonces evaluando la integral, se obtiene:

${displaystyle A(-2,2)=}$ ${displaystyle int _{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=}$ ${displaystyle 2int _{0}^{2}4-x^{2}dx=}$ ${displaystyle 2left[4x-{cfrac {x^{3}}{3}} ight]_{0}^{2}=}$ ${displaystyle 2left[8-left({cfrac {2^{3}-0}{3}} ight) ight]=}$ ${displaystyle {cfrac {32}{3}}}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es ${displaystyle 32/3}$.

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

${displaystyle {frac {A}{L^{2}}}leq {frac {1}{4pi }}}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

${displaystyle A_{r}(a,b)=2pi int _{a}^{b}f(x){sqrt {1+left({frac {df(x)}{dx}} ight)^{2}}} mathrm {d} x}$

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

${displaystyle A(Omega )=iint _{Omega }{sqrt {1+left({frac {partial f}{partial x}} ight)^{2}+left({frac {partial f}{partial y}} ight)^{2}}}mathrm {d} xmathrm {d} y}$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

${displaystyle A(Omega )=iint _{Omega }{sqrt {EG-F^{2}}} mathrm {d} umathrm {d} v}$

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Las unidades de superficie son patrones establecidos mediante convención para facilitar el intercambio de datos de mediciones de la superficie, área o extensión de un objeto, terreno o figura geométrica.

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:^[22]​

En la escala atómica, el área se mide en unidades de barn.^[23]​ Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear.^[23]​

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:^[24]​

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