Índice (teoría de grupos)

En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

^[1]​Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por ${displaystyle sim _{H}}$ (equivalencia por la izquierda) y ${displaystyle {}_{H}!!sim }$ (equivalencia por la derecha). Se definen como:

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como ${displaystyle gH}$ en el caso de ${displaystyle sim _{H}}$, o bien como ${displaystyle Hg}$ para ${displaystyle {}_{H}!!sim }$. Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

Sea G un grupo y sea ${displaystyle Hsubseteq G}$ un subgrupo de G. Al cardinal

${displaystyle i(H,G):=|H:G|=|G:H|}$

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para ${displaystyle i(H,G)}$ son ${displaystyle i_{G}(H)}$ o también ${displaystyle [G:H]}$.

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

${displaystyle i(H,G)=|G|/|H|}$

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.