Altura (triángulo)

En geometría plana, una altura de un triángulo es cada uno de los segmentos que une un vértice con un punto de su lado opuesto o de su prolongación y es perpendicular a dicho lado.

El extremo de la altura que está en la base o su prolongación, se denomina pie de la altura. La longitud de la altura, a menudo simplemente llamada "la altura", es la distancia entre la base extendida y el vértice. El proceso de dibujar la altura desde el vértice al pie se conoce como "bajar la altura" desde ese vértice. Es un caso especial de proyección.

Las alturas se pueden usar en el cálculo del área de un triángulo: el semiproducto de la longitud de una altura y la longitud de su base . Por lo tanto, la altura más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo, pues cada altura es inversamente proporcional a su respectivo lado. Las alturas también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas.

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes), la altura que tiene el lado incongruente como base tendrá el punto medio de ese lado como su pie. También la altura que tiene el lado incongruente como su base será la bisectriz del ángulo del vértice.

Es común marcar la altura con la letra h, a menudo acompañada con la letra del lado sobre el que se levanta.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa c, divide la hipotenusa en dos segmentos de longitudes p y q. Si se denomina la longitud de la altura por h_c, entonces se verifica la relación

Para triángulos agudos y rectángulos, los pies de las alturas caen todos sobre los lados del triángulo (no extendidos). En un triángulo obtuso, el pie de la altura desde el vértice del ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las alturas a los vértices de los ángulos agudos caen en el lado extendido, en el exterior al triángulo Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtuso, una altura trazada perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, corta el lado horizontal extendido fuera del triángulo.

Las tres alturas (extendidas en algunos casos) se cortan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo, generalmente denotado por $H$ .^[1]^[2] El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo (es decir, no tiene ángulo mayor o igual a un ángulo recto). Si uno de los ángulos es recto, el ortocentro coincide con el vértice de este ángulo.^[2]

Sean $A, B, C$ los vértices y también los ángulos de un triángulo, y sean $a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |$ las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales^[3]

${displaystyle sec A:sec B:sec C=cos A-sin Bsin C:cos B-sin Csin A:cos C-sin Asin B,}$

y coordenadas baricéntricas

Como las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo, en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo y en el exterior a un triángulo obtuso.

Dado el plano complejo, sean los puntos $A, B$ y $C$ , que representan respectivamente los números complejos ${displaystyle z_{A}}$ , ${displaystyle z_{B}}$ y ${displaystyle z_{C}}$ y supóngase que el circuncentro del triángulo $ABC$ se encuentra en el origen del plano. Entonces, el número complejo

está representado por el punto $H$ , es decir, el ortocentro del triángulo $ABC$ .^[4] A partir de esto, las siguientes caracterizaciones del ortocentro $H$ mediante vectores libres se pueden establecer de manera directa:

La primera de las identidades vectoriales previas también se conoce como el "problema de Sylvester", propuesto por James Joseph Sylvester.^[5]

Sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas de $A, B$ y $C$ , respectivamente. Entonces:

Sea $R$ el circunradio de un triángulo. Entonces^[12]^[13]

Además, siendo $r$ el radio de la circunferencia inscrita, y siendo $r a, r b$ y $r c$ los radios de sus circunferencias exinscritas, y $R$ de nuevo como el radio de su circunferencia circunscrita, las siguientes relaciones se mantienen con respecto a las distancias del ortocentro desde los vértices:^[14]

Si cualquier altura, por ejemplo, $AD$ , se extiende para intersecar la circunferencia circunscrita en $P$ , de modo que $AP$ es una cuerda de la circunferencia, entonces el pie $D$ divide el segmento $HP$ : ^[7]

Las directrices de todas las parábolas que son tangentes externamente a un lado de un triángulo y tangentes a las extensiones de los otros lados pasan por el ortocentro.^[15]

Una circuncónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola.^[16]

El ortocentro $H$ , el centroide $G$ , el circuncentro $O$ y el centro $N$ de la circunferencia de los nueve puntos se encuentran en una sola línea, conocida como recta de Euler.^[17] El centro de la circunferencia de nueve puntos se encuentra en el punto medio de la línea de Euler, entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad de la existente entre el centroide y el ortocentro:^[18]

El ortocentro está más cerca del incentro $I$ que del centroide, y el ortocentro está más alejado que el incentro del centroide:

En términos de los lados $a, b, c$ , el radio de la circunferencia inscrita $r$ y el radio de la circunferencia circunscrita $R$ ,^[19]

Si el triángulo $ABC$ es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo podal de las alturas del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de alturas. Es decir, los pies de las alturas de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico $DEF$ . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico $DEF$ , coincide con el ortocentro del triángulo original $ABC$ .^[21]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo órtico vienen dadas por

Los lados extendidos del triángulo órtico se encuentran con los lados extendidos opuestos de su triángulo de referencia en tres puntos alineados.^[22]^[23]^[21]

En cualquier triángulo agudo, el triángulo inscrito con el perímetro más pequeño es el triángulo órtico.^[24] Esta es la solución al problema de Fagnano, planteado en 1775.^[25] Los lados del triángulo órtico son paralelos a las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo original.^[26]

El triángulo órtico de un triángulo agudo da una ruta de luz triangular (un conjunto cíclico de tres reflexiones).^[27]

Las líneas tangentes de la circunferencia de nueve puntos en los puntos medios de los lados de $ABC$ son paralelos a los lados del triángulo órtico, formando un triángulo similar al triángulo órtico.^[28]

El triángulo órtico está estrechamente relacionado con el triángulo tangencial, construido de la siguiente manera: sea $L A$ la línea tangente de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el vértice $A$ , y análogamente $L B$ y $L C$ . Sean también $A" = L B \cap L C$ , $B" = L C \cap L A$ , $C" = L C \cap L A$ . El triángulo tangencial es $A"B"C"$ , cuyos lados son las tangentes a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en sus vértices; es homotético al triángulo órtico. El circuncentro del triángulo tangencial y el centro de semejanza de los triángulos órtico y tangencial están en la recta de Euler.^[20]^{:p. 447}

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo tangencial están dadas por

Para obtener más información sobre el triángulo órtico, véase sistema ortocéntrico.

Sea el triángulo BAC, con la base BC = a, en posición horizontal, la altura h relativa del lado a, uno de ángulos debe ser agudo, para el caso C < 90º; H, pie de la altura AH = h. en el lado BC y HC = m, proyección ortogonal del lado b sobre el lado a.

De los triángulos AHC y ABC resulta que se cumple:

se halla la

Empleando la fórmula anterior se aplica al cálculo de área triangular: ${displaystyle A_{Delta }={frac {ah}{2}}}$ resulta el área del triángulo ${displaystyle A_{Delta }={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

Se presentan las alturas de los tres lados de un triángulo

Considérese un triángulo arbitrario con lados $a, b, c$ y con las correspondientes alturas $h a, h b$ y $h c$ . Las alturas y el radio de la circunferencia inscrita $r$ están relacionados por^[31]^{:Lemma 1}

Denominando la altura desde un lado de un triángulo como $h a$ , los otros dos lados como $b$ y $c$ , y el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo como $R$ , la altura viene dada por ^[32]

Si $p 1, p 2$ y $p 3$ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto $P$ a los lados, y $h 1, h 2$ y $h 3$ son las alturas a los lados respectivos, entonces ^[33]

Si $E$ es cualquier punto en una altura $AD$ de un triángulo $ABC$ , entonces^[34]^:77–78

Para cualquier punto $P$ dentro de un triángulo equilátero, la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Esta propiedad es conocida como el teorema de Viviani.

En un triángulo rectángulo, las tres alturas $h a, h b$ y $h c$ (las dos primeras son iguales a las longitudes de los catetos $b$ y $a$ , respectivamente) están relacionadas según^[35]^[36]