Incentro

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Junto con el baricentro, circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo^[1]​ (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.^[2]​^[3]​

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas ${displaystyle (x_{a},y_{a}),}$, ${displaystyle (x_{b},y_{b}),}$, y ${displaystyle (x_{c},y_{c}),}$, y los respectivos lados opuestos tienen longitudes ${displaystyle a,}$, ${displaystyle b,}$, y ${displaystyle c,}$, el incentro tendrá por coordenadas ${displaystyle (x_{I},y_{I}),}$:

En efecto,

Las coordenadas trilineales del incentro son

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.^[3]​

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

donde ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, y ${displaystyle c}$ son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

donde ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$, y ${displaystyle C}$ son los ángulos de los tres vértices del triángulo.

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación^[4]​

Adicionalmente,^[5]​

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

1. Conociendo el ángulo A y el radio r

2. Conociendo los tres lados.

Para deducir esta fórmula cíclica, se iguala pr con la fórmula de Herón. Se despeja cos A de la fórmula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A/2, también el cosecante de A/2. Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).^[7]​

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.^[8]​

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por^[9]​^[10]​

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero^[11]​^{:p. 198}).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es^[10]​

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es^[12]​

Existen inecuaciones que afirman que:

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.^[13]​

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.^[14]​

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;^[15]​ salvo para los triángulos isósceles,^[16]​ en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:^[17]​

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.^[18]​

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente ${displaystyle { frac {BX}{CX}}}$ a lo largo de la bisectriz.^[19]​^[20]​