Apotema

El Apotema en la figura bidimensional de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y siempre es perpendicular a dicho lado.

En la figura tridimensional de una pirámide regular, también se denomina apotema o pirapotema al segmento trazado desde el vértice al centro de cualquier lado del polígono que conforma la base; coincide con la altura de cada cara triangular de la pirámide regular. Cuando se suman los lados para sacar el apotema siempre tenemos un resultado diferente así sea sumas o restas

Dado un polígono inscrito, el radio se divide en dos segmentos: la apotema y la sagita; así, podemos decir que el complemento de la apotema es la sagita, cuya unión es el radio.

Entonces:

El diccionario Larousse define sagita como la parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y el de su cuerda.

Entonces la apotema ${displaystyle OK=a}$, viene dada por la fórmula:

Por lo tanto una vez calculado el valor de la apotema podemos conocer el valor de la sagita ${displaystyle KQ=s}$, toda vez que ${displaystyle s=r-a}$. Por su parte el segmento ${displaystyle FM=l}$ del polígono regular inscrito se puede calcular a partir de la fórmula:

Si se desconoce el valor, tanto de la apotema (${displaystyle a}$) como de la sagita (${displaystyle s}$), entonces la longitud del segmento ${displaystyle FM=l}$, se puede calcular a partir de la fórmula:

Es posible también determinar el radio del círculo cuando se proporciona un arco, si se conoce la longitud ${displaystyle L}$ de una cuerda, y a la vez, la distancia ${displaystyle d}$ que hay del punto medio de la cuerda al punto medio del arco determinado por la cuerda usando la fórmula:

o la ecuación trigonométrica:

En donde:

Un polígono cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos internos son iguales se llama polígono regular, lo que implica que la magnitud de la apotema del «polígono rectangular» subsiguiente no es una cantidad continua, sino que es a «saltos progresivos».

En donde:

Si se considera:

Entonces, nos encontramos legitimados para hacer un experimento mental, en donde uno de los ángulos internos del triángulo mida 0º, y los dos restantes 90º cada uno. En tal caso, uno de los lados del triángulo medirá 0 cm, y los dos restantes tienen el diámetro de la circunferencia. En ese triángulo, así confeccionado, visualizaremos dos de sus lados traslapados. Con ello no violamos ninguno de los postulados precedentes.

Confirma lo anterior el segundo teorema de Tales: «Todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto».

Considerando que toda cantidad multiplicada por cero es cero ${displaystyle (cos 90^{0}=0)}$, podemos eliminar de la ecuación esta parte: ${displaystyle (-2x{_{Delta }X}x{_{Delta }Z}xcos 90^{0})}$

Nota: La longitud de la hipotenusa, para este caso, siempre será igual al diámetro de la circunferencia, y a la vez ${displaystyle cos 90^{0}=0}$, de manera tal que la longitud variable de los fasores ${displaystyle {_{Delta }X}}$ y ${displaystyle {_{Delta }Z}}$, son calculables —para cualquiera que sea la ubicación del punto ${displaystyle C_{x}}$— ya sea por las fórmulas trigonometricas, o a través del teorema de Pitágoras:

Todo lo expuesto anteriormente nos permite iniciar el cálculo del apotema y de la sagita, para este caso especial:

Este caso especial encierra una paradoja, puesto que: no estamos en presencia de un polígono regular inscrito, y a pesar de su inexistencia, pudimos calcular sin dificultad la sagita y la apotema. ¿El apotema y la sagita serán ajenas a los polígonos regulares inscritos?

Visualicemos, en este caso especial, qué propiedades del polígono regular inscrito se han cumplido y cuáles no:

Al parecer, para calcular el “apotema” y la “sagita” es suficiente con considerar la cantidad de puntos cocíclicos, los que pueden ir desde uno hasta infinito. En efecto, ${displaystyle l_{n}}$ será la cantidad de puntos cocíclicos.

Y para este caso, consideraremos que tenemos un solo punto cocíclico.

${displaystyle Gugol=10^{100}}$

En este caso, la gran cantidad de lados del polígono regular tiende al infinito, y se asemeja más a una circunferencia, por lo que la sagita tiende a cero y la apotema a la longitud del radio.

Y si se trata de un gúgolplex, mucho mejor pues en más grande que un gúgol. Pero, aun así un gúgolplex no deja de ser finito.