Arcoseno

En trigonometría, el arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Desde un punto de vista geométrico, el arcoseno de un ángulo ${displaystyle alpha }$, denotado ${displaystyle arcsin alpha ,}$ corresponde al arco cuyo seno es ${displaystyle alpha }$.

La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en ${displaystyle left[-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}} ight]}$ se obtiene una función inyectiva y por tanto con función inversa.

El desarrollo en serie de potencias del arcoseno viene dado por:

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes. A continuación se da una pequeña demostración de tal desarrollo.

Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo:

Dado que:

Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcoseno:

Como función analítica el arcoseno puede extenderse a valores fuera del dominio [-1,1] e incluso complejos. Para valores reales del argumento por encima de +1, la función toma valores complejos:

${displaystyle arcsin(1+varepsilon ^{2})={frac {pi }{2}}-isum _{k=1}^{infty }(-1)^{k+1}a_{k}varepsilon ^{k},quad a_{k}>0,varepsilon in mathbb {R} }$

Para valores menores que -1, se tiene en cuenta que:

${displaystyle arcsin(-(1+varepsilon ^{2}))=-arcsin(1+varepsilon ^{2})}$

Eso completa la extensión a los números reales, aunque fuera del intervalo [-1,+1] los valores de la función son complejos.

En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa.