Arcotangente

En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:

su significado geométrico es el arco ${displaystyle y}$ (en radianes) cuya tangente es ${displaystyle alpha }$.

La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto ${displaystyle left(-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}} ight)}$.

La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan^-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.

Es una función continua y derivable, de clase ${displaystyle C^{infty }}$ (es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).

Es una función impar, o sea que ${displaystyle arctan(-x)=-arctan(x)}$.

${displaystyle (arctan(x))'={frac {1}{x^{2}+1}}}$

En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.

${displaystyle (arctan(x))''=-{frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}}$, que es positivo en ${displaystyle mathbb {R} ^{-}}$ y negativo en ${displaystyle mathbb {R} ^{+}}$.

Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de ${displaystyle arctan(x)}$:

${displaystyle int arctan(x) dx=}$ ${displaystyle int arctan(x)cdot 1 dx=}$ ${displaystyle arctan(x)cdot x - int xcdot {frac {1}{x^{2}+1}}dx=}$ ${displaystyle arctan(x)cdot x - {frac {1}{2}}ln(x^{2}+1) + C}$

En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.