Binomio conjugado

Se le llama identidad notable o producto notable a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.^[1]​

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados

El resultado de multiplicar un binomio ${displaystyle a+b}$ por un término ${displaystyle c}$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es ${displaystyle c(a+b),}$, es decir, el producto de la base ${displaystyle a+b,}$ por la altura ${displaystyle c,}$, también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ${displaystyle ca,}$ y ${displaystyle cb,}$

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:

La expresión siguiente: ${displaystyle a^{2}+2ab+b^{2};}$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso ${displaystyle b=-7}$ en ${displaystyle (x-7)^{2}}$ induciendo en abundantes errores.

El caso ${displaystyle (-a+b)^{2}=((-a)+b)^{2}}$ ${displaystyle =a^{2}-2cdot acdot b+b^{2}}$.

Finalmente ${displaystyle (-a-b)^{2}=(-(a+b))^{2}=(a+b)^{2}}$.

Ejemplo:

Simplificando:

Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

Ejemplo:

Fórmula general:

Fórmula general:

Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:

Adición de cubos:

Diferencia de cubos:

Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xⁿ).

Suma de dos cuadrados

Dónde i es la unidad imaginaria (√-1)

Suma de potencias enésimas:

Diferencia de potencias enésimas:

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.

Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula^{[n 3]}​ ingeniosa:

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