Cuaterniones

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que ${displaystyle i^{2}=-1}$, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que:

como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley.

Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.

Cuaternión proviene del latín quaterni (por cuatro), su significado literal es "número de cuatro componentes". El vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton.^[1]​

El conjunto de los cuaterniones puede expresarse como:

${displaystyle mathbb {H} =left{a+bi+cj+dk:a,b,c,din mathbb {R} ight}subset mathbb {C} ^{2}}$

o equivalentemente:

${displaystyle mathbb {H} =left{(a+bi)+(c+di)j:a+bi,c+diin mathbb {C} ight}subset mathbb {C} ^{2}}$

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes ${displaystyle {vec {x}}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})}$, y el otro el de las "bases": ${displaystyle {1, i, j, k}}$. En este caso, el elemento a₁ que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión ${displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$ se puede representar:

${displaystyle {egin{pmatrix}a+bi&c+di\-c+di&a-biend{pmatrix}}}$

${displaystyle {egin{pmatrix}a&b&c&d\-b&a&-d&c\-c&d&a&-b\-d&-c&b&aend{pmatrix}}}$

Un cuaternión ${displaystyle {egin{aligned}a&=a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}kend{aligned}}}$a se convierte en un número real ${displaystyle a_{1}}$ si todas las otras coordenadas son iguales a cero. De modo tal que el eje real ℝ está contenido en el conjunto H de todos los cuaterniones. ^[2]​ El número real ${displaystyle a_{1}}$ se considera la parte real del cuaternión ${displaystyle a}$. Todos los cuaterniones ${displaystyle a}$ para los cuales ${displaystyle a_{1}}$ igual a cero, se consideran imaginarios puros. Ellos constituyen un subespacio tridimensional ${displaystyle I}$ del espacio ${displaystyle H}$de todos los cuaterniones. Los espacios ${displaystyle D}$ e ${displaystyle I}$ son complementos ortogonales el uno del otro. .^[2]​ De modo tal que el cuaternión se puede escribir como la suma de la parte real y de la parte imaginaria.

Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto ${displaystyle mathbb {H} }$, junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:

El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

Una forma ligeramente más reducida puede ser:

El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.

Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matriz compleja 2 por 2 que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualquier cuaterniones z y w.

Usando como norma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:

Usando la forma del inverso, es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como:

La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

${displaystyle e^{q}=e^{a+bi+cj+dk}=e^{a}left(cos {sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}+{frac {sin {sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}{sqrt {b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}(bi+cj+dk) ight)}$

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero son invertibles.

Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman una ${displaystyle mathbb {R} }$-álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella, los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.

Usando la función distancia definida como ${displaystyle d(z,w)}$ = |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional ${displaystyle S^{3}}$ y un grupo (incluso grupo de Lie) con la multiplicación. Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de ${displaystyle mathbf {R} ^{3}}$ constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero. No es difícil comprobar que la conjugación por un cuaternión unidad de parte real cos t es una rotación de ángulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria.

Así, ${displaystyle S^{3}}$ constituye un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), el grupo de matrices 2 x 2 complejas unitarias y de determinante unidad.

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2. El conjunto A es un anillo y un retículo. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vértices de un politopo regular, llamado {3,4,3} en la notación de Schlafli.

Un conjunto que posee todas las propiedades de un campo excepto por ${displaystyle M_{2}}$ se conoce como un anillo con división o un campo asimétrico. La construcción de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura. La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternión no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue. Recordemos que para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma como la raíz cuadrada de ${displaystyle (a^{2}+b^{2})}$ y su conjugado como z = a - bi. Tenemos entonces que recordemos que el cuaternión h = a + bI + cJ + dK puede pensarse como la matriz compleja.

El conjunto de los cuaterniones constituye un espacio lineal tetradimensional con base 1, i, j, k.

Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema de los cuatro cuadrados dado por Lagrange, que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.

Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio, véase cuaterniones y rotación en el espacio. Además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices, en términos computacionales. Debido a lo expuesto, es común el uso de esta notación en el campo de la robótica, debido a que permite en ciertas situaciones, mediante cuaterniones unitarios, abstraer rotaciones y traslaciones con cierta simplicidad, permitiendo la obtención de la orientación relativa entre sistemas de coordenadas.^[3]​

Los números complejos desempeñan un papel muy importante en las matemáticas. Vinculado a esto brotó la idea de generalizar más todavía los números reales. en este proceso de expansión se construyeron los cuaterniones, cuyo papel en las matemáticas resultó poco significativo.^[4]​

Los cuaterniones fueron creados por William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1. Inmediatamente, grabó esta expresión en el lateral del puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar.

Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions (en inglés Elementos de Cuaterniones), tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Si F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F{0}, se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F utilizando dos generadores, i y j, y las relaciones i² = a, j² = b e ij = -ji. Estas álgebras, o son isomorfas al álgebra de matrices 2x2 sobre F, o son álgebras de división sobre F, y se denominan álgebras de cuaterniones.

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