CW-complejo

En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

En Topología se denomina célula a un espacio topológico ${displaystyle e}$ que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo ${displaystyle ngeq 0}$ de manera que ${displaystyle esim mathbb {R} ^{n}}$ (donde ${displaystyle sim }$ representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que ${displaystyle e}$ es una ${displaystyle n}$-célula, y que la dimensión de ${displaystyle e}$ es ${displaystyle n}$ (denotado por ${displaystyle |e|:=dim(e)=n}$).

Sea ${displaystyle X}$ un espacio topológico. Se dice que el par ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ es una descomposición celular de ${displaystyle X}$ si ${displaystyle {mathcal {E}}}$ es una partición de ${displaystyle X}$ en células, es decir, cada elemento de ${displaystyle {mathcal {E}}}$ es una célula, ${displaystyle X}$ es la unión de todos los elementos de ${displaystyle {mathcal {E}}}$ y dos elementos distintos de ${displaystyle {mathcal {E}}}$ son disjuntos (si ${displaystyle e_{1},e_{2}in {mathcal {E}}}$ y ${displaystyle e_{1} eq e_{2}}$, entonces ${displaystyle e_{1}cap e_{2}=varnothing }$).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo ${displaystyle n}$ una descomposición celular ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ de ${displaystyle X}$, se denomina conjunto de ${displaystyle n}$-células a la unión de todas las células de dimensión ${displaystyle n}$ (es decir, a ${displaystyle igcup _{ein {mathcal {E}}:|e|=n}e}$). Se denomina así mismo ${displaystyle n}$-esqueleto al conjunto ${displaystyle X^{n}:=igcup _{ein {mathcal {E}}:|e|leq n}e}$, es decir, a la unión de los conjuntos de ${displaystyle m}$-células, cuando ${displaystyle mleq n}$.

Si existiese algún ${displaystyle nin mathbb {Z} ^{+}}$ de forma que ${displaystyle X=X^{n}}$, diremos que ${displaystyle X}$ tiene dimensión finita. En ese caso, al menor ${displaystyle nin mathbb {Z} ^{+}}$ de forma que ${displaystyle X=X^{n}}$ se le denomina dimensión de ${displaystyle X}$ (${displaystyle n=dim(X)}$). En caso contrario (es decir, si ${displaystyle X}$ no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de ${displaystyle X}$ es infinita (${displaystyle dim(X)=infty }$). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si ${displaystyle X}$ es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Sea ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ una descomposición celular. Se dice que ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ es una CW-descomposición de ${displaystyle X}$, o que ${displaystyle (X,{mathcal {E}})}$ es una descomposición de tipo CW de ${displaystyle X}$) si se cumple las siguientes condiciones: