Categoría monoidal

En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor

Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas condiciones de coherencia que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta.

El producto tensorial ordinario entre espacios vectoriales, grupos abelianos, R-módulos o anillos conmutativos sirven para dar estructura a las categorías asociadas de categoría monoidal. Las categorías monoidales pueden ser vistas como una generalización de estos y muchos otros ejemplos.

En teoría de categorías las categorías monoidales pueden ser usadas para definir el concepto de objeto monoide y una acción asociada en los objetos de la categoría. También son usadas en la definición de categoría enriquecida.

Categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías por ejemplo se utilizan para definir modelos en la parte multiplicativa de la lógica intuicionista lineal. También forman la fundación matemática para el orden topológico en materia condensada. Categorías monoidales trensadas tienen aplicaciones en Teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas.

Una categoría monoidal es una categoría ${displaystyle mathbf {C} }$ con lo siguiente:

Las condiciones de coherencia para estos tres isomorfismos naturales son:

conmuta.

conmuta.

De estas tres condiciones se sigue que cualquier diagrama de este tipo (i.e. un diagrama cuyos morfismos son formados usando ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle lambda }$, ${displaystyle ho }$, identidades y producto tensorial) conmuta; este es el teorema de coherencia de Mac Lane.

Una categoría monoidal estricta es una categoría monoidal en el cual los isomorfismos naturales α, λ y ρ son identidades.

Para cualquier categoría C la categoría monoidal libre Σ(C) puede ser construida como sigue:

Funtores monoidales son los funtores que conciernen a las categorías monoidales, esto es funtores que preservan el producto tensorial, transformaciones naturales monoidales son las transformaciones naturales entre estos funtores que son compatibles con el producto tensorial.

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