Ciclo (teoría de grafos)

En teoría de grafos, un grafo ciclo o simplemente ciclo es un grafo que consiste en un camino simple cerrado, es decir, en el que no se repite ningún vértice, salvo el primero con el último. Un grafo ciclo de n vértices se denota ${displaystyle C_{n}}$. El número de vértices en un grafo ciclo es igual al número de aristas. En su versión más común, como grafo no dirigido, cada vértice tiene grado 2, por lo que es un grafo 2-regular; en su versión dirigida, en cambio, se trata de un grafo 1-regular.

Si ${displaystyle G(V,E),}$ es un grafo ciclo ${displaystyle C_{n}}$, el grafo tiene ${displaystyle n}$ vértices ${displaystyle V={v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}}}$ y ${displaystyle n}$ aristas formadas de la siguiente manera:

Un grafo ciclo es:

En efecto, si tomamos 2 vértices cualquiera, siempre hay 2 caminos disjuntos (sin vértices comunes a excepción de los vértices extremos) que los conectan. Luego, por el Teorema de Whitney (1932), los ciclos tienen índice de conexión: ${displaystyle kappa ,(C_{n})=2}$.

Los ciclos son también 2-conexo por aristas, en efecto, dado 2 vértices cualquiera, siempre hay 2 caminos distintos (sin aristas comunes entre ambos) que los conectan. Luego, por el Teorema de Menger (1927), los ciclos tienen índice de arista conexión: ${displaystyle kappa _{a},(C_{n})=2}$.

Los ciclos al tener el índice de arista conexión igual a 2 carecen de aristas puentes.

Es claro que los ciclos son 2-regulares, ya que dado un ciclo de n vértices, todos sus grados son iguales a dos: ${displaystyle delta (v_{i})=2,}$ con i=1,...,n

En efecto, los ciclos al ser conexos y 2-regulares satisfacen el Teorema de Euler(1736)-Hierholzer(1873). Luego, los ciclos contienen un Circuito euleriano.

Es fácil ver que también contienen un ciclo hamiltoniano.

${displaystyle chi (C_{n})={egin{cases}2,&{mbox{si }}n{mbox{ es par}}\3,&{mbox{si }}n{mbox{ es impar}}end{cases}}}$

${displaystyle chi '(C_{n})={egin{cases}2,&{mbox{si }}n{mbox{ es par}}\3,&{mbox{si }}n{mbox{ es impar}}end{cases}}}$

Un grafo ciclo dirigido es una versión dirigida de un grafo ciclo, con todas las aristas orientadas hacia una misma dirección.

En un grafo ciclo dirigido, el grado de salida del vértice es 1 y el de entrada también es 1.

${displaystyle delta _{s}(x)=delta _{e}(x)=1,}$

Si las aristas del grafo no están orientadas en una misma dirección, entonces se habla de «semiciclo» en lugar de «ciclo».^[1]​

El signo de un grafo ciclo signado o con signos es igual al producto de los signos de las aristas incluidas en el grafo, calculado de acuerdo a una conjunción lógica:^[1]​

Por lo tanto, un grafo ciclo con un número par de aristas negativas tendrá un signo positivo, y un grafo ciclo con un número impar de aristas negativas, tendrá un signo negativo. Note que todo lo anterior se mantiene para un grafo semiciclo dirigido.^[1]​