Circuncentro de masas

En geometría, el circuncentro de masas es un centro asociado con un polígono que comparte muchas de las propiedades del centro de masas. De forma general, el circuncentro de masas puede definirse para politopos simpliciales y también en las geometrías esféricas e hiperbólicas.

En el caso especial de cuando el politopo es un cuadrilátero o hexágono, el circuncentro de masas se denomina "cuasicircuncentro" y se ha utilizado para definir una recta de Euler de un cuadrilátero.^[1]​^[2]​ El circuncentro de masas también permite definir una recta de Euler para politopos simpliciales.

Sea ${displaystyle P}$ un polígono orientado (con vértices numerados anticíclicamente) en el plano, con vértices ${displaystyle V_{1},V_{2},ldots ,V_{n}}$ y sea ${displaystyle O}$ un punto arbitrario que no se encuentre sobre las aristas (o sus extensiones). Considérese la triangulación de ${displaystyle P}$ formada por los triángulos orientados ${displaystyle OV_{i}V_{i+1}}$ (el índice ${displaystyle i}$ tiene módulo ${displaystyle n}$). Asóciese a cada uno de estos triángulos su circuncentro ${displaystyle C_{i}}$ con un peso igual a su área orientada (positivo si su secuencia de vértices es anticíclica; negativa de lo contrario). El circuncentro de masas de ${displaystyle P}$ es el centro de masas de estos circuncentros ponderados. El resultado es independiente de la elección del punto ${displaystyle O}$.^[3]​

En el caso especial de un polígono cíclico, el circuncentro de masas coincide con el circuncentro.

El circuncentro de masas satisface un análogo del Lema de Arquímedes, que establece que si un polígono se descompone en dos polígonos más pequeños, entonces el circuncentro de masas de ese polígono es una suma ponderada de los circuncentros de masas de los dos polígonos más pequeños. Como consecuencia, cualquier triangulación con triángulos no degenerados puede usarse para definir el circuncentro de masas.

Para un polígono equilátero, el circuncentro de masas y el centro de masas coinciden. En términos más generales, el circuncentro de masas y el centro de masas coinciden para un politopo simplicial para el que cada cara tiene la suma de cuadrados de sus bordes constante.^[4]​

El circuncentro de masas es invariante bajo la operación de "recorte" de polígonos,^[5]​ y ante la transformación discreta bicíclica (Darboux); en otras palabras, la imagen de un polígono bajo estas operaciones tiene el mismo circuncentro de masas que el polígono original. La recta de Euler generalizada interviene en la teoría de sistemas integrables.^[6]​

Sean ${displaystyle V_{i}=(x_{i},y_{i})}$ los vértices de ${displaystyle P}$ y sea ${displaystyle A}$ su área. El circuncentro de masas ${displaystyle CCM(P)}$ del polígono ${displaystyle P}$ está dado por la fórmula

El circuncentro de masas puede extenderse a curvas suaves mediante un procedimiento limitante. Este límite continuo coincide con el centro de masa de la lámina homogénea delimitada por la curva.

Bajo supuestos naturales, los centros de polígonos que satisfacen el lema de Arquímedes son precisamente los puntos de su recta de Euler. En otras palabras, los únicos centros con "buen comportamiento" que satisfacen el lema de Arquímedes son las combinaciones afines del circuncentro de masas y del centro de masas.

El circuncentro de masas permite que se defina una recta de Euler para cualquier polígono (y más generalmente, para un politopo simplicial). Esta línea de Euler generalizada se define como el lapso afín entre el centro de masas y el circuncentro de masas del politopo.