Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

A su vez, el conjunto P es el complementario de C. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P^∁ = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

El complementario de A es otro conjunto A^∁ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A:

${displaystyle xin A^{complement }{ ext{ si y s}}{acute { ext{o}}}{ ext{lo si }}x otin A}$

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara:

${displaystyle A^{complement }=Usetminus A}$

Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

${displaystyle Asetminus B=Acap B^{complement }}$

Ejemplo.

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

${displaystyle U^{complement }=varnothing { ext{ , }}varnothing ^{complement }=U}$

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

Leyes de De Morgan

Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria ${displaystyle {ar {R}}}$ es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como

Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.

Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica