Conjunto preordenado

En matemática, especialmente en teoría del orden, preórdenes son ciertas clases de relaciones binarias que se relacionan con los conjuntos parcialmente ordenados. El nombre cuasiorden es también una expresión común para preórdenes. Muchas definiciones teóricas para los conjuntos parcialmente ordenados se pueden generalizar a preórdenes, pero el esfuerzo adicional de generalización raramente se necesita. Con todo hay campos de uso, tales como la definición de la convergencia vía redes en topología, donde los preórdenes no se pueden substituir por conjuntos parcialmente ordenados sin perder propiedades importantes.

Considere algún conjunto P y una relación binaria R en P. Entonces R es un preorden, o un cuasiorden, si es reflexiva y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

Es un conjunto preordenado, si cumple:

1.- La relación R es reflexiva si todo elemento a de P está relacionado consigo mismo.

2.- La relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

Entonces en una relación binaria de preorden.

Si un preorden cumple también la propiedad simétrica para todo a, b de P, si a R b entonces b R a, (P, R) es una relación de equivalencia

Si un preorden cumple también la propiedad antisimétrica, es decir, a R b y b R a implica a = b, entonces (P, R) es un orden parcial.

Es importante diferenciar las siguientes tres propiedades:

Para todo a, b de P, si se cumple que a esta relacionada con b entonces b esta relacionada con a.

Para todo a, b de P, si se cumple que a esta relacionada con b entonces b no esta relacionada con a.

Un grafo dirigido, que tiene al menos un ciclo, es preordenado dado que cumple la propiedad reflexiva y transitiva, y no es ni simétrico ni antisimétrico.