Coseno

En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo ${displaystyle 2pi }$, además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

En trigonometría, el coseno de un ángulo ${displaystyle alpha }$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo ${displaystyle alpha .}$

Si ${displaystyle B}$ pertenece a la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia de radio uno con ${displaystyle O=A}$ se tiene:

Ya que ${displaystyle c=AB=1}$.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${displaystyle {vec {AB}}}$ mediante su descomposición en los vectores ortonormales ${displaystyle {vec {AC}}}$ y ${displaystyle {vec {CB}}}$.

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real ${displaystyle x}$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, ${displaystyle x}$. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

que en sumatorio sería:

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

donde ${displaystyle e}$ es la base del logaritmo natural, e ${displaystyle i}$ es la unidad de los números imaginarios.

Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a ${displaystyle e^{-iz}}$ se tiene también que:

Sumando estas dos ecuaciones se tiene:

donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${displaystyle {frac {pi }{2}}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

${displaystyle cos(alpha -eta )=}$ ${displaystyle cos alpha cos eta +operatorname {sen} alpha operatorname {sen} eta }$

Bastará con el cambio ${displaystyle eta =alpha ,}$

resulta:

y aislando ${displaystyle operatorname {sen} heta }$:

El cambio ${displaystyle heta ={frac {alpha }{2}}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:

donde ${displaystyle kin mathbb {Z} }$.

${displaystyle cos a-cos b=-2operatorname {sen} left({frac {a+b}{2}} ight)operatorname {sen} left({frac {a-b}{2}} ight)}$

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.