Cuantificador lógico

En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:^[1]​

El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores (${displaystyle forall }$ y ${displaystyle exists }$) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto ${displaystyle ~A}$ (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

${displaystyle exists !,xin A;:quad P(x)}$

Se lee:

Se tienen las siguientes relaciones universales:

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores ${displaystyle forall }$ y ${displaystyle exists }$ tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos ${displaystyle forall xP(x)land M(x)}$ el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador ${displaystyle (forall xP(x))land M(x)}$. Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso que se quiera priorizar el operador lógico (${displaystyle land }$) se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación ${displaystyle forall x(P(x)land M(x)).}$

Un error muy común es considerar que ${displaystyle forall xP(x)land M(x)}$ es lo mismo que ${displaystyle forall x(P(x)land M(x))}$ cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería ${displaystyle (forall xP(x))land M(x)}$.

Lógica de cuantificadores

Begriffsschrift